共円条件(4点が同一円周上にある条件) [円周角の定理の逆、四角形が円に内接する条件、方べきの定理の逆]

中央部分のの「4点A,D,G,Eが同一円周上にあることを示せ」は「4点A,D,G,Fが同一円周上にあることを示せ」の間違いですm(_ _)m

kyouenjyouken
円周角の定理の逆 直線ABに対して同じ側にある2点P,\ Qについて, $∠ APB=∠ AQB}$\ が成り立つならば,\ 4点A,\ B,\ P,\ Qは同一円周上にある. {四角形が円に内接する条件}{1組の対角の和が${180°}$}{1つの内角がその対角の外角に等しい. ,\ の一方が成り立つ四角形ABCDは円に内接する. 4点A,\ B,\ C,\ Dは同一円周上にある 線分AB,\ CDがその線分上または延長線上にある点Pで交わるとき, $PA PB}=PC PD}$\ が成り立つならば,\ 4点A,\ B,\ C,\ Dは同一円周上にある {  }2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから\ ここで,\ 2点B,\ Dは直線APに対して同じ側にある. {  }よって,\ 円周角の定理の逆}より,\ 4点A,\ D,\ B,\ Pは同一円周上にある. 2組の辺が等しいことは明らかであるから,\ その間の角が等しいことを示せばよい. 正三角形の内角が60°であることを利用する. 同一円周上にあることを示す主な方法が3つあることは既に示したとおりである. 本問では,\ からの流れを考慮して円周角の定理の逆を利用する. 接弦定理 4点が同一円周上にあることを示す場合,\ 四角形が円に内接する条件を利用する可能性が最も高い. 必要ならば4点を結んで四角形を作り,\ その条件のどちらかを満たすことを示せないか考える. また,\ 2つの円が2点で交わる構図では{共通弦を描く}ことも重要である. とりあえず四角形{ADGE}を作ってみる.\ また,\ 共通弦も描いてみる. すると円に内接する四角形{DBEGとGECF}ができるから,\ その利用を考える. 結局,\ 『{四角形が円に内接する1つの内角が対角の外角に等しい}』で全て説明できる. まず,\ 1つの内角が対角の外角に等しいことを繰り返し用いて\ {∠ GDB=∠ GFA}\ が示される. 逆に,\ {∠ GFA\ の対角の外角\ ∠ GDB\ が等しいから,\ 四角形ADGEは円に内接するといえる.} 接線があるとき,\ {『中心を通る半径と接線は垂直』か『接弦定理』}の利用を考えるのであった. 本問では前者は使えなさそうなので,\ 接弦定理の利用を考える. 2本の各接線について接弦定理を用いると,\ {∠ BCA}がちょうど2角の和であることに気付く. これに\ {∠ AEB\ を加えた角度は EABの内角の和に等しいので和は180°\ である.} すなわち,\ 四角形{EBCA}の対角の和が180°であることがを示されたわけである. {  }ゆえに,\ 方べきの定理の逆}より,\ 4点A,\ B,\ O,\ Mは同一円周上にある} 中学図形の影響なのか,\ 多くの高校生はむやみやたらと補助線を引きたがる傾向にある. しかし,\ 適当に交点から交点まで結んだとしてもほとんどの場合は何も得られない. 共通弦などパターン化されたもの以外の補助線は目的を持って描くことが重要である. 「垂直を利用するためにここに垂線を下ろそう」といった具合である. 高校図形ではむしろ{不要な線を消してみる}という発想が重要である. そうすることで本質が見えてくることもあるからである. 円周角の定理の逆や四角形が円に内接する条件の利用が難しい問題は方べきの定理の逆である. 特に,\ 上の2問は不要な線を消してみると,\ あからさまに方べきの定理の利用を匂わせる. 先に目標を明確にすることが重要である. 方べきの定理の逆を用いるには,\ PA PB=PC PD}を示すことが目標}になる. では,\ どうすれば{PA PBとPC PDが等しいことを示せるだろうか.} 図形問題で{長さの積を見かけたときは方べきの定理か三角形の相似の利用}を考えよう. 本問は2つの円に対してそれぞれ方べきの定理を用いることになる. 方べきの定理の逆を用いるため,\ PA PB=PM PO}を示すことが目標}である. まず,\ {PA PB}については方べきの定理を利用すると{PS}で表すことができる. 問題は{PM PO}である.\ 何とかしてこれを{PS}で表せないだろうか. 方べきの定理の利用は無理そうなので,\ {三角形の相似の利用}を考える. 目標達成のためには,\ {PM,\ PO,\ PS}を含むような三角形でなければならない. そこで,\ { PSOと PMS}が相似であることを利用することになる. この相似に気付かないのは学習不足である.\ 以下の点は常識としておこう.  垂線を下ろしてできる2つの直角三角形と元の直角三角形は互いに相似である.   つまり,\ { PSO∽ PMS∽ SMO}\ である.  円外の点から2本の接線を引いたとき,\ このような直角三角形の相似ができる.  {POとST}が直交する(弦の垂直二等分線は円の中心を通る).
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