2つの円の共通外接線と共通内接線の長さ

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2つの円が接線に対して同じ側にあるとき,\ その接線を{共通外接線}という. 2つの円が接線に対して逆の側にあるとき,\ その接線を{共通内接線}という. また,\ 2つの円の接点の間の距離を{共通接線の長さ}という. 共通接線の長さを求めるとき,\ {直角三角形ができるように補助線を引いて三平方の定理を利用}する. 共通外接線の場合は垂線を下ろすだけで直角三角形ができる. {四角形{ABHO}は長方形}であるから,\ {OH}の長さを求めることに帰着する. 共通内接線の場合はやや特殊な{補助線{OHD}を引く}と直角三角形ができる. {四角形{CDHO}は長方形}であるから,\ {OH}の長さを求めることに帰着する. 下図の円Oの半径は2,\ 円O$’$の半径は4,\ 2つの円の中心間の距離は10である. 線分AB,\ CD,\ ECの長さを求めよ. 共通接線の長さ{AB,\ CD}は直角三角形を作成して三平方の定理を用いればよい. {EC}をどのように求めるかが問題である. {『円の外部の点から円に引いた2本の接線の長さは等しい』}ことが肝になる. つまり,\ EA=EC\ および\ EB=EDが成立するのでこの2式を連立すればよい. ただし,\ 普通に連立しようとしてもわかりづらいので,\ 2式のうち一方をxとして他方を表すとよい. 下図の円O$”$の半径を$R$とするとき,\ ${1}{ R}={1}r₁+{1}r₂$が成り立つことを示せ. 下図のように点O,\ O$”$から下ろした垂線の足をH,\ I,\ Jとする. 2円とその共通接線の構図では,\ とにかく{垂線を下ろして直角三角形を作成する}のが重要である. 本問では3つ目の円も含めると3つの直角三角形を作成できる. それぞれ三平方の定理を適用すると,\ 円{Oと円O’}の共通外接線の長さが2通りに表される. 等号で結んだ後整理すると,\ 半径\ r₁,\ r₂,\ R\ の美しい関係が導かれる.
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