線分の内分点と外分点の図示

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naibun-gaibun
内分点線分AB上}にあり,\ AP:PB=m:n}を満たす点P線分ABの延長上}にあり,\ おそらく内分点は誰でも図示できる.\ 外分点を正確に図示できるか}が問題である. 例として線分ABを${5:3}$に外分する点Qを図示する.\ まず,\ 次の違いに注意する. 内}側で{A}から5単位,\ {B}から3単位の距離の点. {AB}を5:3に{外}分する点:外}側で{A}から5単位,\ {B}から3単位の距離の点. $ 線分ABの外側ということは,\ 点Aの左側の可能性と点Bの右側の可能性がある. $5:3$ならば点Bからよりも点Aからの距離が遠くなるので,\ 外分点は点Bの右側になる. 図示するとき,\ 点Bの右側に点Qを適当にとって5と3を書くということは許されない. この図では5に対して3が短すぎる.\ 基準となる1単位の長さは等しくなければならない. 1単位の長さは既知である線分ABの長さを元にして定まる. $5}:3}$に外分するとき,\ 線分ABの長さは${5-3=2}$単位分になる. よって,\ 線分ABの長さの半分が1単位となる. その長さを1単位として点Aから5単位,\ 点Bから3単位の位置に点Qをとればよい. また,\ 『${5:3}$に外分}』は『${5:-3}$に内分』とみなすこともできる. つまり,\ 『5進んで}${-3}$進む(3戻る)』として図示できる. 問題によっては次のように言い換えるとわかりやすくなる. 線分ABを次のように分ける点を図示せよ.  $3:2$に外分する点        $3:1$に外分する点  $1:2$に外分する点        $2:5$に外分する点 3-2=1\ より,\ 線分AB}の長さがそのまま1単位である. 点\text Aから3単位,\ 点\text Bから2単位の点をとる. 3-1=2\ より,\ 線分AB}の長さが2単位分である. 線分AB}の半分を1単位とし,\ 点\text Aから3単位,\ 点\text Bから1単位の点をとる. 2-1=1\ より,\ 線分AB}の長さがそのまま1単位である. 点\text Aから1単位,\ 点\text Bから2単位の点をとる.\ 外分点\text Qは点\text Aの左側にある. 『-1:2に内分』とみなすと『-1進んで(1戻って)2進む』となる. 5-2=3\ より,\ 線分AB}の長さが3単位分である. 線分AB}を3等分した長さを1単位とし,\ 点\text Aから2単位,\ 点\text Bから5単位の点をとる. 上では,\ あえて線分AB}の長さをすべてそろえて図示している. {比の差の値次第で1単位の長さが変わる}ことがわかるだろう.
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