チェバの定理とその逆の証明

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nitoubunsen-hennohi
三角形と1点)   $△}$ABCの3辺BC,\ CA,\ ABまたはその延長上にそれぞれ点P,\ Q,\ Rをとる.}   3直線AP,\ BQ,\ CRが1点Oで交わるとき,\ 以下の関係式が成立す 三角形と1点で構成される構図}において線分の比を求めるとき,\ チェバの定理が有効である. 左図が超頻出の基本構図だが,\ 点 Oが三角形の外部にくる場合もチェバの定理が成立する(右図). このとき,\ 2点Q,\ R}が辺AC,\ AB}の外分点である. 結局,\ 3点P,\ Q,\ R}のうち外分点が0個または2個(偶数個)}の構図がチェバの定理の範疇である. 外分点が1個または3個(奇数個)の構図は,\ 次項で示すメネラウスの定理の範疇となる. チェバの定理は数式を丸暗記しても意味はなく,\ 図形的にその構造を理解する. A,\ B,\ Cが頂点,\ P,\ Q,\ Rが分点(内分点または外分点)である.} このとき,\ 頂点}\ →\ 分点}\ →\ 頂点}\ →\ 分点}\ →\ 頂点}\ →\ 分点}\ →\ 頂点\ の順で1周}したものとなっている. 頂点A}から出発したが,\ どの頂点から出発しても同じである. \ \ \ 3式の辺々を掛け合わせると \ 線分の比を三角形の面積比としてとらえる}と容易に証明できる. 念のため,\ AR}{RB}=△ OAC}{△ OBC\ となることの証明も簡単に示しておく.\ 他も同様である. 右図において △ OAC:△ OBC=\teisei{OC}× AH×\teisei{12}:\teisei{OC}× BI×\teisei{12}=AH:BI} ここで,\ △ ARHと△ BRIにおいて,\ ∠ AHR=∠ BIR=90°,\ ∠ ARH=∠ BRI\ (対頂角)}\ である. よって,\ △ ARH∽△ BRI\ より,\ AH:BI=AR:RB\ である.} ゆえに,\ △ OAC:△ OBC=AR:RBが成り立つ.} {チェバの定理の逆(共点条件)   $△$ABCの辺BC,\ CA,\ ABまたはその延長上にそれぞれ点P,\ Q,\ Rをとる.   3点P,\ Q,\ Rのうち,\ 辺の延長上にある点が偶数個(0か2)であるとする.   また,\ 3直線AP,\ BQ,\ CRのうち2本が交わるとする.   $AR}{RB}・BP}{PC}・CQ}{QA}=1$が成り立つとき,\ 3直線AP,\ BQ,\ CRは1点で交わる 2点Q,\ Rがともに辺上にあるか,\ ともに辺の延長上にあるとする.\ \ $・・・・・・\,①$ \ \ このとき,\ 点Pは辺BC上にある. \ \ 2直線BQ,\ CRが点Oで交わるとすると,\ 直線AOは辺BCと交わる. \ \ その交点をP$’$とすると,\ チェバの定理より  \ \ 仮定より\ \ \ P,\ P$’$はともに辺BC上の点であるから,\ P$’$とPは一致する. \ \ つまり,\ 3直線AP,\ BQ,\ CRは1点で交わる.} 3直線が1点で交わることを共点},\ 共点となるための条件を共点条件}という. 共点を示す証明問題では,\ チェバの定理の逆が大活躍する.}. 証明は難しくはないが,\ 高校数学ではあまり見かけない論法なので戸惑うかもしれない. まず,\ 何が仮定で何が結論かを混同しないように注意する.  [1]\ \ 3点P,\ Q,\ R}のうち,\ 辺の延長上にある点(外分点)が偶数個である.  [2]\ \ 3直線AP,\ BQ,\ CR}のうち2本が交わる.  [3]\ \ AR}{RB}・BP}{PC}・CQ}{QA}=1}\ が成り立つ. この3つの仮定から,\ 結論「\,3直線AP,\ BQ,\ CR}が1点で交わる」を示すことになる. [2]があるのは,\ [1]と[3]のみでは3直線AP,\ BQ,\ CR}が平行になる可能性があるからである. [1]より,\ ①としても一般性を失わない.\ このとき,\ 残りの点 Pが外分点となる可能性はなくなる. さて,\ 3直線が1点で交わることを示すには,\ 3本目の直線が2直線の交点を通ることを示せばよい.} 実際には,\ 一旦仮の3本目の直線を設定し,\ これが実際の3本目の直線と一致することを示す.} 3本目の直線としてAP’}を設定する.\ この時点では P’と Pは別物であることに注意してほしい. チェバの定理(逆ではない方)と仮定から,\ BP’:P’C=BP:PC}\ が導かれる. 点P}は外分点ではないから,\ 比が等しいならば2点P’,\ P}は同じ内分点のはずである. P’=Pより,\ 2直線AP’,\ APは同一直線である.} つまり,\ 直線APは2直線BQ,\ CRの交点Oを通る.}