直線と平面の垂直, 三垂線の定理の証明

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平面$\alpha$上に直線$\ell$,\ 直線$\ell$上に点B,\ 直線$\ell$上にない平面$\alpha$上に点O, \\[.2zh] \hspace{.5zw}平面$\alpha$上にない点Aがあるとき,\ 以下が成り立つことを証明せよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\mathRM{AB\perp\ell,\ OB\perp\ell,\ OA\perp OB\ \ ならば\ \ OA\perp\alpha}$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\mathRM{OA\perp\alpha,\ OB\perp\ell\ \ ならば\ \ AB\perp\ell}$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $\mathRM{OA\perp\alpha,\ AB\perp\ell\ \ ならば\ \ OB\perp\ell}$ \\[-10zh] 直線と平面の垂直,\ 三垂線の定理の証明}}}} \\\\[1zh]  (1)\,~\,(3)は\textbf{三垂線の定理}と呼ばれる. 受験数学において最も存在価値のない定理である. \\[.2zh]  記述試験で無断使用してもよいが,\ 複雑で覚えにくい上,\ 汎用性が非常に低い. \\[.2zh]  ただし,\ その証明に用いられる考え方は,\ 空間の垂直に関連する問題で重要になる.}} \\[.2zh]  要するに,\ 定理を丸暗記しても意味がなく,\ 証明できるようにしておく必要がある. \\[1zh]  証明の根幹は,\ $\bm{\textcolor{blue}{条件「(直線)\perp(直線)」と条件「(直線)\perp(平面)」の相互関係}}$にある. \\[1zh]  [1]\ \ \scalebox{.98}[1]{$\bm{\textcolor{magenta}{直線Lと平面P上の交わる2直線の垂直を示す}}と,\ \bm{\textcolor{red}{(直線L)\perp(平面P)}}がいえる.$} \\[.5zh]  [2]\ \ $\bm{\textcolor{magenta}{(直線L)\perp(平面P)を示す}}と,\ \bm{\textcolor{red}{(直線L)\perp(平面P上のすべての直線)}}がいえる.$ \\\\\\   (1)\ \ $\mathRM{\textcolor{cyan}{AB\perp\ell,\ OB\perp\ell}}$より $\textcolor{red}{\mathRM{(平面OAB)\perp\ell}}$ \\[.2zh] \phantom{  (1)}\ \ よって $\textcolor{red}{\mathRM{OA}\perp\ell}$ \\[.2zh] \phantom{  (1)}\ \ ゆえに $\mathRM{\textcolor{cyan}{OA\perp OB},\ \textcolor{red}{OA\perp\ell}}$より $\bm{\mathRM{OA\perp\alpha}}$ \\[-5zh]   (2)\ \ $\mathRM{\textcolor{cyan}{OA\perp\alpha}}$より $\mathRM{\textcolor{red}{OA\perp\ell}}$ \\[.5zh] \phantom{  (1)}\ \ よって $\mathRM{\textcolor{red}{OA\perp\ell},\ \textcolor{cyan}{OB\perp\ell}}$より $\mathRM{\textcolor{red}{(平面OAB)\perp\ell}}$ \\[.5zh] \phantom{  (1)}\ \ ゆえに $\mathRM{\bm{AB\perp\ell}}$ \\[-5zh]   (3)\ \ $\mathRM{\textcolor{cyan}{OA\perp\alpha}}$より $\mathRM{\textcolor{red}{OA\perp\ell}}$ \\[.5zh] \phantom{  (1)}\ \ よって $\mathRM{\textcolor{red}{OA\perp\ell},\ \textcolor{cyan}{AB\perp\ell}}$より $\mathRM{\textcolor{red}{(平面OAB)\perp\ell}}$ \\[.5zh] \phantom{  (1)}\ \ ゆえに $\mathRM{\bm{OB\perp\ell}}$ \\[-5zh] 仮定から結論を導こうとするのではなく,\ \bm{結論を導くには何を必要かを遡って考えていく}とよい. \\[1zh] (1)\ \ 最終的に\mathRM{(直線OA)\perp(平面\,\alpha)}\,を示したい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そのためには,\ \bm{直線\mathRM{OA}と平面\,\alpha\,上の交わる2直線\mathRM{OB},\ \ell\,が垂直である}ことを示せばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 仮定より\mathRM{OA\perp OB}なので,\ 後は\mathRM{OA\perp\ell\,}を示せばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ \mathRM{OA}と\ell\,はねじれの位置にあるので,\ 直接\mathRM{(直線OA)\perp(直線\ell)}\,を示すことができない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このような場合,\ 直線と直線の垂直条件を直線と平面の垂直条件に変換する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{直線\mathRM{OA}を含む平面\mathRM{OAB}と\,\ell\,の垂直を示せば,\ \mathRM{OA\perp\ell}\,が示されたことになる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 理論的には\mathRM{OA\perp\alpha}\,を示しても\mathRM{OA\perp\ell}\,が示されるが,\ それでは振り出しに戻ってしまう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{(平面\mathRM{OAB})\perp\ell\,を示すには,\ 平面\mathRM{OAB}上の交わる2直線と\,\ell\,の垂直を示せばよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \mathRM{AB\perp\ell,\ OB\perp\ell}\,が仮定なので,\ これで結論から仮定まで遡れたことになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 解答は以上の思考を逆に記述したものである. \\[1zh] (2)\ \ \mathRM{AB\perp\ell\,を示すには,\ (平面OAB)\perp\ell\,を示せばよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 仮定より\mathRM{OB\perp\ell\,なので,\ 後はOA\perp\ell\,を示せばよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \ell\,は平面\,\alpha\,上の直線なので,\ 仮定\mathRM{OA\perp\alpha}\,より直ちに\mathRM{OA\perp\ell}\,が導かれる. \\[1zh] (3)\ \ \mathRM{OB\perp\ell\,を示すには,\ (平面OAB)\perp\ell\,を示せばよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 仮定より\mathRM{AB\perp\ell\,なので,\ 後はOA\perp\ell\,を示せばよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \ell\,は平面\,\alpha\,上の直線なので,\ 仮定\mathRM{OA\perp\alpha}\,より直ちに\mathRM{OA\perp\ell}\,が導かれる. 立方体$\mathRM{ABCD-EFGH}$において,\ 対角線AGと平面BDEが垂直であることを示せ. \\   正方形の対角線は直交するから $\mathRM{\textcolor{forestgreen}{BD\perp AC}}$ \\[1zh]   $\mathRM{\textcolor{cyan}{BC\perp CG,\ DC\perp CG}}$より $\textcolor{magenta}{\mathRM{(平面BCD)\perp CG}}$ \\[.2zh]   よって $\textcolor{magenta}{\mathRM{BD\perp CG}}$ \\[1zh]   $\mathRM{\textcolor{forestgreen}{BD\perp AC},\ \textcolor{magenta}{BD\perp CG}}$より $\mathRM{\textcolor{red}{BD\perp (平面ACG)}}$ \\[.2zh]   よって $\mathRM{\textcolor{red}{BD\perp AG}}$ \\[1zh]   同様に $\mathRM{BE\perp AG}$ \\[1zh]   $\mathRM{BD\perp AG,\ BE\perp AG}$より $\bm{\mathRM{(平面BDE)\perp AG}}$ \\[-14zh] \mathRM{(平面BDE)\perp AGを示すには,\ 平面BDE上の交わる2直線BD,\ BEとAGの垂直を示せばよい.} \\[.2zh] ただし,\ 立方体の対称性を考慮すると,\ \mathRM{BD\perp AGさえ示せばBE\perp AGを新たに示す必要はない.} \\[.2zh] \mathRM{BD\perp AGを示すには,\ 直線BDと平面ACG\,(直線AGを含む)の垂直を示せばよい.} \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{$\mathRM{BD\perp (平面ACG)を示すには,\ 直線BDと平面ACG上の交わる2直線AC,\ CGの垂直を示せばよい.}$} \\[.2zh] \mathRM{BD\perp CGを示すには,\ 平面BCD\,(直線BDを含む)と直線CGの垂直を示せばよい.} \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{$\mathRM{(平面BCD)\perp CGを示すには,\ 平面BCD上の交わる2直線BC,\ DCと直線CGの垂直を示せばよい.}$}
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