三角形の五心① 三角形の重心とその存在証明

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jyuusin
三角形の3本の中線は必ず1点で交わる.}}\ 重心は各中線を\textbf{\textcolor{red}{$\bm{2:1}$に内分}}する.    ※\ 中線とは\textbf{三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ直線}のことである. \\[1zh]  \syoumei\ \ [1]\ \ AB,\ ACの中点をそれぞれN,\ Mとし,\ \textcolor{red}{中線BMとCNの交点をG}する(左図). \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{[1]}\ \ \ 中点連結定理より $\mathRM{NM\heikou BC,\ \ NM=\bunsuu12BC}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{[1]}\ \ \ $\mathRM{\triangle GBC\souzi \triangle GMN}$で,\ 相似比は$2:1$である. \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{[1]}\ \ \ よって $\mathRM{\textcolor{red}{BG:GM=2:1}}$ \\\\ \phantom{ [1]}\ \ [2]\ \ BC,\ CAの中点をそれぞれL,\ Mとし,\ \textcolor{red}{中線ALとBMの交点をG$’$}とする(右図). \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{[1]}\ \ [1]と同様に考えると $\mathRM{\textcolor{red}{BG’:G’M=2:1}}$ \\\\ \phantom{ [1]}\ \ [1],\ [2]\,より,\ G,\ G$’$はともに中線BMを$2:1$に内分する点であるから,\ 2点は一致する. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ ゆえに,\ \textbf{3本の中線AL,\ BM,\ CNは1点Gで交わる.} \\[1zh] \phantom{ [1]}\ \ このとき,\ $\mathRM{\textcolor{red}{AG:GL=BG:GM=CG:GN=2:1}}$である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ つまり,\ \textbf{点Gは各中線を$\bm{2:1}$に内分する.} \\\\[1zh] 高校生にとって最も標準的と思われる証明を示した. \\[.2zh] 中線が1点で交わることと重心で2:1に内分されることを同時に示せるというメリットが大きい. \\[1zh] \bm{2組の2本の中線の交点が一致}すれば,\ 3直線が1点で交わるといえる. \\[.2zh] 中学数学で学習した中点連結定理を利用する. \\[.2zh] 底辺以外の2辺の中点を結んだ線分(中点連結)は,\ \bm{底辺と平行で,\ 長さは底辺の半分}である. チェバの定理の逆}より,\ \textbf{3直線AL,\ BM,\ CNは1点Gで交わる} チェバの定理の逆とメネラウスの定理を学習済みならば,\ より自然な証明が可能になる. 平行四辺形ABCDの対角線の交点をO,\ 辺BCの中点をM,\ 線分AMと線分BDの交 \\[.2zh] \hspace{.5zw}点をNとする.\ $\triangle$ANOの面積を$S$とするとき,\ 平行四辺形ABCDの面積を求めよ. \\\\ 常に問題で『重心』というキーワードが明示されているとは限らない. \\[.2zh] 本問では自分で\text{N}が中線の交点(重心)であることに気付かなければならない. \\[.2zh] \bm{平行四辺形の対角線が中点で交わる}ことは中学校で学習済みである. \\[.2zh] \text{N}が重心であることに気付けば,\ 2:1の内分比(無断使用可)が利用できる. \\[.2zh] その後は各面積を順にSで表していけばよい.}$\triangle$ABCの辺BC,\ CA,\ ABの中点をそれぞれD,\ E,\ Fとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\triangle$ABCの重心と$\triangle$DEFの重心が一致することを示せ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\[.5zh]   $\mathRM{BD=DC,\ CE=EA}$\ より $\mathRM{ED\heikou AF}$ \\[.5zh]   $\mathRM{BD=DC,\ AF=FB}$\ より $\mathRM{DF\heikou EA}$ \\[.5zh]   2組の対辺が平行であるから,\ \textcolor{magenta}{四角形AFDEは平行四辺形}である. \\[1zh]   ADとFEの交点をPとする. \\[.2zh]   \textcolor{forestgreen}{平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる}から $\mathRM{FP=PE}$ \\[.2zh]   よって,\ \textcolor{red}{$\triangle$ABCの中線ADはFEの中点を通る.} \\[.2zh]   同様にして,\ \textcolor{red}{$\triangle$ABCの中線BE,\ CFはそれぞれFE,\ DEの中点を通る.} \\[1zh]   ゆえに,\ \textbf{$\bm{\triangle}$ABCの重心と$\bm{\triangle}$DEFの重心は一致する.} \\\\ \triangle\mathRM{ABC}の中線が\triangle \mathRM{DEF}の中線でもあることを示せばよい.\ 中点連結定理を利用すると簡潔に済む. \\[.2zh] ちなみに,\ ベクトル学習後は工夫なしの単純計算だけで示せるようになる. \\[.4zh]
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