三角形の内角・外角の二等分線と辺の比の関係とその証明

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nitoubunsen-hennohi
三角形の角の二等分線と辺の比Aの二等分線と辺BCの交点P}}は,\ 辺BCを\  \syoumei\ \ 直線APに平行な直線を点Cを通るように引き,\ 直線ABの交点をDとする(右図).(同位角),(錯角)}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 仮定よりは二等辺三角形であるから  (平行線と線分の比) 高校数学では\bm{『角の二等分線ときたら辺の比』}であり,\ 平面図形の最重要定理の1つである. \\[.2zh] 証明もたまに問われるので,\ できるようにしておきたい. \\[.2zh] 様々な証明が考えられるが,\ 最も代表的なものを2つ示しておく. \\[1zh] 多くの書籍では,\ 幾何的な証明が採用されている(中学レベル). \\[.2zh] \bm{平行線による比の移動}を利用するため,\ 補助線を引く. \\[.2zh] 中学数学ではよく利用したはずなのだが,\ すでに忘れている高校生が多い. \\[.2zh] 平行線により,\ \bm{\mathRM{BP:PC}を\mathRM{BA:AD}に移し替える}ことができる. \\[.2zh] よって,\ \mathRM{AB:AC=AB:AD}を証明すればよいことになる. \\[.2zh] つまりは,\ \mathRM{\bm{AC=AD}}を証明することに帰着する. \\[.2zh] 同位角や錯角が等しいことに着目し,\ \bm{\triangle\mathRM{ACD}が二等辺三角形}であることを示す. \\[1zh] 平行線による比の移動のときに利用する定理の証明を簡単に示しておく(右図:中学数学). \\[.2zh] は平行四辺形}(2組の対辺が平行)なので  数\text Iを学習済みならば,\ \bm{三角比を利用した証明}がわかりやすい. \\[.2zh] \bm{線分の比を三角形の面積比としてとらえる}という発想自体も重要である. \\[.2zh] 高さが等しいから,\ 三角形\mathRM{\triangle ABP,\ \triangle CAP}の面積比は底辺\mathRM{BP,\ PC}の比に等しい. \\[.2zh] 公式S=\bunsuu12ab\sin\theta\,を利用して\mathRM{\triangle ABP,\ \triangle CAP}の面積比を求めると,\ \mathRM{AB:AC}となる. Aの外角の二等分線と直線BCの交点Q}}は,\ \phantom{ (1)}\ \ 直線AQに平行な直線を点Cを通るように引き,\ 直線ABの交点をDとする(右図). \mathRM{AB=ACの\triangle ABC}では,\ \mathRM{\angle Aの外角の二等分線は辺BCと平行になり,\ 交点Qが存在しない.} \\[1zh] 証明の大筋は内角の場合と同様である.\ 最後,\ 公式\ \sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta\ を利用している. \mathRM{BC}=6を9:5に内分したうちの5に相当する分,\ つまり6の\,\bunsuu{5}{14}\,が\mathRM{PC}である. \\[.6zh] \mathRM{(6-PC):PC=9:5}として求めてもよい.
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