鋭角三角形の垂心が垂足三角形の内心であることの証明

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kyouenjyouken
鋭角三角形ABCの頂点A,\ B,\ Cから対辺に下ろした垂線をそれぞれAD,\ BE,\ CFと \\[.2zh] \hspace{.5zw}するとき,\ $\triangle$ABCの垂心と$\triangle$DEFの内心が一致することを示せ. \\ 鋭角三角形の垂心が垂足三角形の内心であることの証明}}}} \\\\[.5zh]   $\triangle$ABCの垂心をHとする. \\[1zh]   $\mathRM{\angle BDH=\angle BFH=90\Deg}$\ より,\ \textcolor{forestgreen}{4点B,\ D,\ H,\ Fは同一円周上にある.} \\[.2zh]   よって,\ 円周角の定理より $\mathRM{\textcolor[named]{RedOrange}{\angle HDF=\angle HBF}}$  {\small [\,\textcolor{brown}{弧$\mathRM{FH}$に対する円周角}\,]} \\[1zh]   $\mathRM{\angle CDH=\angle CEH=90\Deg}$\ より,\ \textcolor{forestgreen}{4点C,\ D,\ H,\ Eは同一円周上にある.} \\[.2zh]   よって,\ 円周角の定理より $\mathRM{\textcolor{cyan}{\angle HDE=\angle HCE}}$  {\small [\,\textcolor{brown}{弧$\mathRM{EH}$に対する円周角}\,]} \\[1zh]   $\mathRM{\angle BFC=\angle BEC=90\Deg}$\ より,\ \textcolor{forestgreen}{4点B,\ F,\ E,\ Cは同一円周上にある.} \\[.2zh]   よって,\ 円周角の定理より $\mathRM{\textcolor{magenta}{\angle EBF=\angle ECF}}$  {\small [\,\textcolor{brown}{弧$\mathRM{EF}$に対する円周角}\,]} \\[1zh]   ゆえに,\ $\mathRM{\textcolor[named]{RedOrange}{\angle HDF}=\textcolor{cyan}{\angle HDE}}$より,\ \textcolor{red}{HDは$\angle$EDFを2等分}する. \\[.2zh]   同様にして,\ \textcolor{red}{HEが$\angle$DEFを2等分}することも示される. \\[1zh]   \textcolor{purple}{$\angle$EDFと$\angle$DEFの2等分線の交点}であるから,\ \textbf{点Hは$\bm{\triangle}$DEFの内心}である. \bm{共円条件(4点が同一円周上にある条件)を3回適用する}ことで鮮やかに証明できる. \\[1zh] \bm{1組の対角の和が180\Deg}であるから,\ 4点\mathRM{B,\ D,\ H,\ FとC,\ D,\ H,\ E}はそれぞれ同一円周上にある. \\[.2zh] \bm{円周角の定理の逆}より,\ 4点\mathRM{B,\ F,\ E,\ C}は同一円周上にある. \\[1zh] 内心は,\ 内角の2等分線の交点であった. \\[1zh] \triangle \mathRM{ABC}の各垂線の足を結んでできる\triangle\mathRM{DEF}を\bm{\triangle \mathRM{ABC}の垂足三角形}という. \\[.2zh] \bm{鋭角三角形の垂心は,\ 垂足三角形の内心と一致する}というわけである. \\[.2zh] ちなみに,\ 鈍角三角形の垂心は,\ 垂足三角形の傍心と一致する.
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