メネラウスの定理とその逆の証明

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三角形と1直線}}) \\[1zh]   \textbf{\textcolor{red}{直線$\bm{\ell}$が$\bm{\triangle}$ABCの3辺BC,\ CA,\ ABまたはその延長とそれぞれ点P,\ Q,\ Rで交わる.}} \\[.2zh]   このとき,\ 以下の関係式が成立する. \bm{三角形と1直線で構成される構図}において線分の比を求めるとき,\ メネラウスの定理が有効である. \\[.2zh] 左図が超頻出の基本構図だが,\ 直線が三角形と交わらない場合もメネラウスの定理が成立する(右図). \\[.2zh] このとき,\ 3点\mathRM{P,\ Q,\ Rが辺BC,\ CA,\ AB}の外分点である. \\[.2zh] \bm{3点\mathRM{P,\ Q,\ R}のうち外分点が1個または3個(奇数個)}の構図がメネラウスの定理の範疇である. \\[.2zh] 外分点が0個または2個(偶数個)の構図は,\ 前項で取り上げたチェバの定理の範疇である. \\[1zh] メネラウスの定理は数式を丸暗記しても意味はなく,\ 図形的にその構造を理解する. \\[.2zh] \mathRM{A,\ B,\ Cが頂点,\ P,\ Q,\ Rが分点(内分点または外分点)である.} \\[.2zh] このとき,\ 以下の順で\bm{1周}したものとなっている. 必ず外分点を経由することになるので,\ チェバの定理よりも慣れが必要になる. \\[.2zh] 複雑な構図では,\ 右図のキツネがメネラウスの定理適用の目安となる.頂点A,\ B,\ Cから直線$\ell$に垂線AH,\ BI,\ CJを引く}(右図). 様々な証明が考えられるが,\ 代表的な証明を2つ示しておく. \\[1zh] 1つ目は,\ \bm{平行線による比の移動を利用}するものである. \\[.2zh] 平行線により\mathRM{直線BCとCA上の線分の比を直線AB上に移動する}ことで示される. \\[1zh] 2つ目は,\ \bm{直角三角形の相似を利用}するものである. \\[.2zh] \mathRM{\triangle ARHと\triangle BRIは,\ 直角があり対頂角が等しい(2つの角が等しい).} \\[.2zh] \mathRM{\triangle BPIと\triangle CPJは,\ 直角があり\angle Pが共通である(2つの角が等しい).} メネラウスの定理によるチェバの定理の証明 高校数学はチェバ\ →\ メネラウスの順で学習するが,\ 実はメネラウスの定理の方が本質的である. \\[.2zh] 実際,\ メネラウスの定理を用いてチェバの定理を証明することができる. \\[.2zh] チェバの定理で求まる線分比は,\ 必ずメネラウスの定理でも求められるということである. \\[1zh] ちなみに,\ 数学史においても,\ メネラウスは1世紀頃,\ チェバは17世紀の人物である. \\[.2zh] これほど近しい定理が1600年もの間誰も発見できなかったというのは考えづらい. \\[.2zh] あえて別の定理として認識する必要性すら感じられなかったということではないだろうか. \\[1zh] 三角形と1点の構図の中には,\ 三角形と1直線の構図(キツネ)が隠れている. \\[.2zh] チェバの構図の構成には6本の直線を要するが,\ メネラウスの構図は4本の直線で構成できる. \\[.2zh] \bm{メネラウスの定理を2回適用して連立する}と,\ チェバの定理が導かれる. {メネラウスの定理の逆(共線条件)   $\triangle$ABCの辺BC,\ CA,\ ABまたはその延長上にそれぞれ点P,\ Q,\ Rをとる. \\[.2zh]   3点P,\ Q,\ Rのうち,\ 辺の延長上にある点が奇数個(1か3)であるとする. \\[1zh]   $\mathRM{\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{AR}{RB}\cdot\bunsuu{BP}{PC}\cdot\bunsuu{CQ}{QA}=1\ が成り立つとき,\ 3点P,\ Q,\ Rは1直線上にある.}}}$ \\\\\\  \syoumei\ \ 2点Q,\ Rがそれぞれ辺CA,\ AB上にあるとする.\ \ $\cdots\cdots\,\maru1$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ このとき,\ 点Pは辺BCの延長上にある. \\[1zh] \phantom{ [1]}\ \ \textcolor{red}{直線QRと辺BCの延長上交点をP$’$}とする. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ メネラウスの定理より \phantom{ [1]}\ \ 仮定より \phantom{ [1]}\ \ P,\ P$’$はともに辺BCの延長上の点であるから,\ P$’$とPは一致する. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ つまり,\ \textbf{3点P,\ Q,\ Rは1つの直線上にある.} \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ 2点Q,\ Rがそれぞれ辺CA,\ ABの延長上にあるときも同様である. \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 3点が1つの直線上にあることを\bm{共線},\ 共線となるための条件を\bm{共線条件}という. \\[.2zh] \bm{共線を示す証明問題に対しては,\ メネラウスの定理の逆が有効}である. \\[.2zh] ただし,\ 高校数学では,\ ベクトルを利用して共線を示すことが多い. \\[1zh] まず,\ 何が仮定で何が結論かを混同しないように注意する. \\[1zh]  [1]\ \ 3点\mathRM{P,\ Q,\ R}のうち,\ 辺の延長上にある点(外分点)が奇数個である. \\[.4zh]  [2]\ \ \mathRM{\bunsuu{AR}{RB}\cdot\bunsuu{BP}{PC}\cdot\bunsuu{CQ}{QA}=1}\ が成り立つ. \\[1.2zh] この2つの仮定から,\ 結論「\,3点\mathRM{P,\ Q,\ R}が1つの直線上にある」を示すことになる. \\[1zh] まず,\ 2点\mathRM{Q,\ R}が内分点のときを考える.\ このとき[1]より,\ 残りの点\text Pは必ず外分点となる. \\[1zh] 3点が1つの直線上にあることを示すには,\,\bm{3点目が2点を通る直線上にあることを示せばよい.} \\[.2zh] 実際には,\ \bm{一旦仮の3点目を設定し,\ これが実際の3点目と一致することを示す.} \\[1zh] 3点目として\mathRM{P’}を設定する.\ この時点では\text P’と\text Pは別物であることに注意してほしい. \\[.2zh] メネラウスの定理(逆ではない方)と仮定から,\ \mathRM{BP’:P’C=BP:PC}\ が導かれる. \\[.2zh] 比が等しいから,\ 2点\mathRM{P’,\ P}は同じ外分点のはずである. \\[.2zh] \mathRM{つまり,\ 点Pは2点Q,\ Rを通る直線上にある.}
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