空間における平面と直線の基本事項

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2直線の位置関係}} 1点で交わる平行}同一平面上にある{ねじれの位置}} \ \ 同一平面上にない {2直線のなす角}} \\[1zh]    2直線$\ell,\ m$が平行でないとき,\ 任意の点Oを通り,\ $\ell,\ m$に平行な直線を$\ell’,\ m’$とする. \\[.2zh]    $\ell’,\ m’$は同一平面上の2直線であり,\\ell’,\ m’}$のなす角$\bm{\theta}$}}は点Oの位置によらず等しい. \\[.2zh]    このときの$\bm{\textcolor{red}{\theta}}$を\textbf{\textcolor{blue}{2直線$\bm{\ell,\ m}$のなす角}}という.2直線$\bm{\ell,\ m}$のなす角が$\bm{90\Deg}$}}であるとき, \\[.2zh]   \ell}$と$\bm{m}$は垂直である}}といい,\ $\bm{\textcolor{blue}{\ell\perp m}}$と表す. \\[.2zh]    \textbf{\textcolor{red}{垂直な2直線が交わる}}とき,\ \textbf{\textcolor{blue}{直交する}}という. \\直線と平面の位置関係}}直線が平面に含まれる}}(無数の共有点をもつ1点で交わる}} \\[.2zh]  {平行}}(共有点をもたない) 直線と平面のなす角}} \\[1zh]     直線$\ell$と平面$\alpha$が1点で交わるとき, $\ell$と$\alpha$の共有点をOとする. \\[.2zh]     直線$\ell$上の任意の点Pから平面$\alpha$に下ろした垂線の足をHとする. \\[.2zh]     このとき,\ $\bm{\textcolor{red}{\angle\mathRM{POH}=\theta}}$を\textbf{\textcolor{blue}{直線$\bm{\ell}$と平面$\bm{\alpha}$のなす角}}という. 直線と平面の垂直}} \\[1zh]   [定義]}}\ \ \textbf{\textcolor{red}{直線$\bm{h}$が平面$\bm{\alpha}$上のすべての直線に垂直である}}とき,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{h}$は$\bm{\alpha}$に垂直である}} \\[.2zh]       \ \ または\textbf{\textcolor{blue}{$\bm{h}$は$\bm{\alpha}$に直交する}}といい,\ $\bm{\textcolor{blue}{h\perp \alpha}}$と表す.\ \ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{h}$を平面$\bm{\alpha}$の垂線}}という. \\[1zh]       \ \ 平面$\alpha$上にない点Aを通る平面$\alpha$の垂線が平面$\alpha$と交わる点をHとするとき, \\[.2zh]       \ \ 点Hを点Aから平面$\alpha$に下ろした\textbf{\textcolor{blue}{垂線の足}}という. \\\\    \textbf{\textcolor{blue}{[定理]}}\ \ \textbf{\textcolor{red}{直線$\bm{h}$が平面$\bm{\alpha}$上の交わる2直線$\bm{\ell,\ m}$に垂直}}ならば,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{h}$は$\bm{\alpha}$に垂直}}である. \\[1zh] h$は$\alpha$に垂直とは限らない}} 2平面の位置関係となす角}} 交わる}} 2平面の交わりは1本の直線になる.\ この直線を\textbf{\textcolor{blue}{2平面の交線}}という. \\[1zh]           交わる2平面の交線上の1点をOとする. \\[.2zh]           \textbf{\textcolor{red}{点Oから各平面上に交線に垂直に引いた2直線のなす角$\bm{\theta}$}}を \\[.2zh]           \textbf{\textcolor{blue}{2平面のなす角}}という. \\[.5zh]           \textbf{\textcolor{red}{2平面$\bm{\alpha,\ \beta}$のなす角が直角である}}とき, \\[.2zh]           $\alpha,\ \beta$は\textbf{\textcolor{blue}{垂直である}}(\textbf{\textcolor{blue}{直交する}})といい,\ $\bm{\textcolor{blue}{\alpha\perp\beta}}$と表す.平行}}  共有点をもたない. \\\\[.5zh] 1辺の長さが2の立方体ABCD$-$EFGHについて,\ 以下の問いに答えよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 辺ABとねじれの位置にある辺はどれか. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 線分ACと線分AFのなす角を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 線分ADと線分FHのなす角を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 面AEHDと面DHFBのなす角を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ 線分BHと面EFHのなす角を$\alpha$とするとき,\ $\tan\alpha$の値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (6)\ \ 面ABCDと面BEDのなす角を$\beta$とするとき,\ $\cos\beta$の値を求めよ. \\  (1)\ \ \textbf{辺DH,\ \ 辺CG,\ \ 辺EH,\ \ 辺FG} \\\\  (2)\ \ \textcolor{red}{$\triangle$ACFは正三角形}であるから $\bm{\angle\mathRM{CAF}=60\Deg}$ \\\\  (3)\ \ \textcolor{red}{$\mathRM{BD\heikou FH}$}より $\bm{\angle\mathRM{ADB}=45\Deg}$ \\\\  (4)\ \ \textcolor{red}{$\mathRM{DA\perp DH,\ DB\perp DH}$}より $\bm{\angle\mathRM{ADB}=45\Deg}$ \\\\  (5)\ \ \textcolor{red}{点Bから面EFHに下ろした垂線の足がF}であるから \\[.5zh]  (6)\ \ 面ABCDと面BEDの交線は線分BDである. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 線分BDの中点をIとすると $\textcolor{red}{\mathRM{BD\perp CI,\ BD\perp EI}}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \  $\bm{\cos\beta}=\cos\angle\mathRM{EIC}=\bunsuu{(\ruizyoukon2\,)^2+(\ruizyoukon6\,)^2-(2\ruizyoukon3\,)^2}{2\cdot\ruizyoukon2\cdot\ruizyoukon6}=\bm{-\bunsuu{1}{\ruizyoukon3}}$ \ (1)\ \ 辺\mathRM{AB}に平行な辺と辺\mathRM{AB}と交わる辺を除くと,\ それがねじれの位置にある辺である. \\[1zh] (2)\ \ 線分\mathRM{AC}と線分\mathRM{AF}を含む切断面を考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 切断面の三角形は,\ 各辺が立方体の面(正方形)の対角線であるから,\ 正三角形である. \\[1zh] (3)\ \ ねじれの位置にある2直線のなす角は,\ 交わるように一方を平行移動して求める. \\[1zh] (4)\ \ 交線は\mathRM{DH}なので,\ \mathRM{DH}に垂直に引いた2直線のなす角を求めればよい. \\[1zh] (5)\ \ 直線と平面のなす角は,\ 直線上の点から垂線を下ろしたときの角である. \\[.2zh] \mathRM{面EFHを面EFGHと考え,\ B}から垂線を下ろせばよい. \\[1zh] (6)\ \ \mathRM{\triangle BCDと\triangle BEDは二等辺三角形であるから,\ 頂角から下ろすと垂直になる.} \\[.2zh] \mathRM{\cos\angle EIC}を求めればよく,\ 余弦定理を利用する. \\[.2zh] 空間内にの異なる3直線$\ell,\ m,\ n$と異なる3平面$P,\ Q,\ R$についての次の記述の \\[.2zh] \hspace{.5zw}正誤を判定せよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}\ \begin{tabular}{ll} (1)\ \ $\ell\heikou m,\ \ell\heikou n$\ \ ならば\ \ $m\heikou n$    & (2)\ \ $\ell\perp m,\ \ell\perp n$\ \ ならば\ \ $m\heikou n$ \\[.8zh] (3)\ \ $P\heikou Q,\ Q\heikou R$\ \ ならば\ \ $P\heikou R$ & (4)\ \ $P\perp Q,\ Q\perp R$\ \ ならば\ \ $P\heikou R$ \\[.8zh] (5)\ \ $\ell\heikou P,\ \ell\heikou Q$\ \ ならば\ \ $P\heikou Q$ & (6)\ \ $\ell\perp P,\ \ell\perp Q$\ \ ならば\ \ $P\heikou Q$ \\[.8zh] (7)\ \ $\ell\heikou P,\ \ell\perp m$\ \ ならば\ \ $P\perp m$ & (8)\ \ $\ell\heikou P,\ P\perp Q$\ \ ならば\ \ $\ell\perp Q$ \\[.8zh] (9)\ \ $\ell\heikou P,\ \ell\perp Q$\ \ ならば\ \ $P\perp Q$ & \scalebox{.8}[1]{(10)}\ $P\heikou Q,\ Q\perp R$\ \ ならば\ \ $P\perp R$    (1)\ \ \textbf{正}    (2)\ \ \textbf{誤}    (3)\ \ \textbf{正}    (4)\ \ \textbf{誤}    (5)\ \ \textbf{誤} \\[.5zh]    (6)\ \ \textbf{正}    (7)\ \ \textbf{誤}    (8)\ \ \textbf{誤}    (9)\ \ \textbf{正}    (\scalebox{.8}[1]{10})\ \textbf{正} \\\\\\ 「\,pならばq\,」は,\ \bm{pであるとき\dot{常}\dot{に}\,qである}ことを意味する. \\[.2zh] よって,\ \bm{pであるのにqでないもの(反例)に気付けるか}が問われる. \\[.2zh] 何もない空間では考えにくい場合,\ \bm{立方体の辺や面を元にする}と考えやすい. \\[1zh] (2)\ \ 立方体の3辺\mathRM{AB,\ BC,\ BF}を\,\ell,\ m,\ nとすると,\ \ell\perp m,\ \ell\perp n\,だがm\perp nである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ 空間ではなく平面上の3直線の話であれば(2)は正しい
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