軌跡の基本(アポロニウスの円と垂直二等分線の方程式)

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以下はアポロニウスの円のGeoGebra作図です。スライダーを動かしてみてください。自動再生も可能です。

2点${A(-2,\ 0),\ B(4,\ 0)}からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ.$  座標平面上の図形は,\ 数学的には「条件を満たす点の集合}」である.}  よって,\ 求める軌跡は,\ 次のような図形である. 「2点からの距離の比が${2:1}$である点を全て打ったときにできる図形}」  しかし,\ 実数は無限にあるから,\ 1つ1つ点を打っていくわけにはいかない.  結局,\ 軌跡上の動点を${(x,\ y)}$とし,\ この点が条件を満たすよう立式する.  .95}{こうして導かれた式が条件を満たす点$(x,\ y)$の集合であり,\ 求める軌跡である.}  条件を満たす点条件を満たす点Pは上にある.}  逆に,\ 上の全ての点は条件を満たす.} $ {中心(6,\ 0),\ 半径4の円}$} 軌跡といえども,\ {常に点で考える}よう意識する. 点(x,\ y)が満たすべき条件を求めるのである. 本問においては,\ 点(x,\ y)は{AP:BP=2:1}\ という条件を満たすべきである. 結局,\ {AP=2BP}をx,\ yで表せばよいが,\ 根号を避けるため,\ 先に2乗しておく. であるから,\ 両辺を2乗しても同値}である. さて,\ 教科書では,\ 最後に逆が確認されている. 図形{F}が軌跡であるためには,\ 次の2つを両方とも満たさなければならない.   {条件を満たす全て}の点{P}が図形{F}上にある.} (図形{F}が不足するとダメ)   {図形{F}上の全て}の点{P}は条件を満たす.}   (図形{F}が過剰でもダメ) 要するに,\ {答える軌跡は必要十分条件でなければならない}のである. 本解は,\ {「条件を満たす点{P}はどんな図形{F}上にあることが必要か」}を考えている. よって,\ {図形{F}上の全ての点が条件を満たすこと(十分性)の確認が要る}のである. もし,\ 図形{F}上に条件を満たさない点があれば,\ それを除外しなければならない. 除外すべき点があるか否かは,\ 本問では図形的に考えればよい. 厄介なのは,\ 教科書や参考書で,\ この確認の記述の一貫性がないことである. 「同値性が明らかな場合は省略できる」などとして,\ いつのまにか省略されている. あるいは,\ 最初から確認の記述がない参考書もある. もともと,\ 条件から同値変形をしていったのであれば,\ 逆の確認は必要ない. 本問も実質同値変形だが,\ {必要条件という意識で進めた}ので十分性を確認した. よって,\ 次のように同値変形をアピールした記述で済ませることもできる. しかし,\ 実際には,\ 記述試験で同値記号を用いることは推奨できない. 同値でないのに同値記号を使ってしまうと,\ 採点官の心証を悪くするからである. やはり,\ 教科書に準じておくのが最も安全であろう. 「軌跡を求めよ」の場合,\ 式だけでなく,\ {どのような図形かを答える}必要がある. 本問は円であるので,\ それを特徴づける中心と半径も含めて答えることになる. 一般に,\ 軌跡が次のような図形になることを覚えておくとよい. {2点{A,\ B}からの距離の比がm:n\ (m>0,\ n>0)\ である点の軌跡 線分{AB}をm:nに内分する点と外分する点を直径の両端とする円 }の円を{アポロニウスの円という. 本問の場合,\ 点{A}のx座標-2と点{B}のy座標4の内分点と外分点を求めると 内分点\ {1(-2)+24}{2+1}=2,\ 外分点\ {-1(-2)+24}{2-1}=10  (y座標は0) よって,\ {2点(2,\ 0),\ (10,\ 0)を直径とする円(アポロニウスの円)}となる.  2点からの距離が等しい点(距離の比が${1:1}$)の軌跡として求められる.  垂直二等分線上の点 直線分野では{「{直線ABと垂直}」「{線分ABの中点を通る}」}として求めた. このように,\ 軌跡の考え方を用いて求めることもできるのである. 「軌跡を求めよ」と異なり,\ 「方程式を求めよ」は逆の確認が必要ないと思われる. もちろん,\ 記述しておいても問題はない.
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