線形計画法(連立不等式と2変数関数の最大・最小)

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以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダーを動かしてみてください。自動再生もできます。

連立不等式\ $x0,\ y0,\ 2x+y10,\ x+3y10\ を満たすx,\ yに$ 対し,\ $x+y\ の最大値,\ 最小値を求めよ.$ 線形計画法(連立不等式と2変数関数の最大・最小) 連立不等式の表す領域${D}$を図示する.  $$\ 求値式を\ ${=k}$\ とおくと,\ 図形的には直線を表す.  $[3]$\ この直線が領域${D}$と共有点をもつような${k}$の最大・最小を求める.  条件を満たす領域$D$は,\ 上図の塗りつぶし部分である.\ 境界線を含む.  は,\ $傾き-1,\ y切片kの直線}である.$  直線が領域$D$と共有点をもつような$k$の値の範囲}を求める.  $y切片k$は,\ 点(4,\ 2)を通るとき,\ 最大}となる.  $y切片k$は,\ 点(0,\ 0)を通るとき,\ 最小}となる. 本問に限らず,\ {連立不等式が条件の問題は,\ まず領域を図示してみる}とよい. として,\ 領域を図示する. y=-x+kは,\ {傾きが-1で固定で,\ y切片kが変化する直線}である. 傾き-1のままy切片を変化させ,\ 領域Dと共有点をもつような範囲を考える. このとき,\ {領域を作る直線の傾きとy=-x+kの傾き-1の関係}が重要になる. 点(4,\ 2)を通る2本の直線の傾きは,\ -2と-13である. り,\ y切片kが最大となるのは,\ 点(4,\ 2)を通るときとわかる. y切片kが最小となるのが(0,\ 0)を通るときなのは明らかであろう. =kとおく理由を理解するには,\ {逆像法}という高度な考え方を要する. 詳しく説明すると長くなるので,\ ここでは,\ 簡潔な説明にとどめておく. {条件を満たすx,\ yが存在して初めて,\ それに対応するkが求まる.} 逆に言えば,\ {求めるkには対応するx,\ yが存在していなければならない.} {「条件を満たすx,\ yが存在する」は,\ 図形的には「共有点が存在する」}である. 領域Dと共有点をもたなければ,\ 条件を満たすx,\ yが存在しないことになる. そのようなkは最大・最小にはなり得ない. 結局,\ {領域Dと共有点をもつようなkの範囲を考えることに帰着する}のである.
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