連動点の軌跡(1点が円周上を動くときの三角形の重心の軌跡)

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bisector-angle
円\ $(x-2)^2+y^2=4\ 上の点\mathRM{O(0,\ 0)とA(4,\ 0)}がある.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}点\mathRM{Q}がこの円上を動くとき,\ $\triangle$\mathRM{OAQ}の重心\mathRM{P}の軌跡を求めよ. 連動点の軌跡}ある動点Qに連動する点Pの軌跡}}を\textbf{\textcolor{blue}{連動点の軌跡}}といい,\ 以下の手順で求める. \\[1zh]    $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{途中の動点Q}}と\textbf{\textcolor{red}{軌跡上の動点P}}を文字でおく. \\[.4zh]    $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{purple}{点P,\ Qが満たすべき条件式をすべて列挙する.}} \\[.4zh]    $[3]$\ \ \textbf{\textcolor{forestgreen}{不要な文字を消去}}し,\ \textbf{\textcolor{red}{P$\bm{(x,\ y)}$の関係式}}を導く点Qが点O,\ Aと一致するとき,\ $\triangle$OAQができない.} \\[.2zh]   逆に,\ \maru3かつ\maru4を満たすすべての点は,\ 問題の条件を満たす. \\\\     $\therefore 求める軌跡は,\ \bm{中心(2,\ 0),\ 半径\ \bunsuu23\ の円.} 求める軌跡は,\ 以下の3つの条件式をすべて満たす点\mathRM{P}(x,\ y)の集合である. \\[.2zh] 途中の動点\mathRM{Q}(s,\ t)が円周上にある条件 (s-2)^2+t^2=4 \\[.2zh] 点\mathRM{P}(x,\ y)が\triangle\mathRM{OAQ}の重心である条件 x=\bunsuu{s+4}{3},\ \ y=\bunsuu t3 \\[.8zh] s=,\ t=の形にして(s,\ t)を消去すると点\text P(x,\ y)が満たす関係式が得られ,\ これが軌跡である. \\[.2zh] ただし,\ \bm{三角形ができない2点を除く必要がある}ことに注意する. (3x-6)^2+(3y)^2=4\ を基本形に変形するとき,\ 展開する必要はない. \
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