AB>0、AB<0型の不等式の表す領域

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bisector-angle
円と直線の交点が(2,\ 0),\ (0,\ 2)であることはすぐにわかる. \\[.2zh] 求める領域は,\ \bm{「(円の外側)かつ(直線の下側)」または「(円の内側)かつ(直線の上側)」}である. \\[1zh] このAB>0,\ AB<0型の領域は,\ 以下のような観点でとらえると楽に図示できる. \\[1zh] \bm{領域の境界線となるのは,\ A=0とB=0を満たす曲線(直線含む)}である. \\[.2zh] 座標平面は,\ この境界線によって複数の領域に分割される. \\[1zh] 境界線A=0を越えて隣の領域に移動するとしよう. つまり,\ \bm{「図形的に境界線を越える」ことは「数式的には符号の逆転」を意味する.} \\[1zh] 領域において,\ 境界線A=0,\ B=0を越えるとする. \\[.2zh] 境界線A=0を超えればAの符号が逆転,\ 境界線B=0を超えればBの符号が逆転する. \\[.2zh] とにかく,\ \bm{どこかの境界線を越えたとき,\ AまたはBのどちらか一方の符号が逆転する.} \\[.2zh] よって,\ \bm{境界線を越えるたびにABの正負が変わる.\ 図形的には「含む」「含まない」が入れ替わる.} \\[1zh] 結局,\ \bm{どこか1つの領域が含まれるか否かがわかれば,\ 他の領域が含まれるか否かが瞬時にわかる.} \\[.2zh] よって,\ \bm{簡単な1点の座標が不等式を満たすかを調べる}と素早く図示できる.  \ \ \leqq0を満たさないから,\ 原点(0,\ 0)は求める領域には含まれない. \\[.2zh]  \ \ 後は,\ 以下のような手順で順番に斜線塗りを行っていく. \\[.5zh]  \ \  \bm{原点を含む領域(\mathRM{P}とする)  \,→ 何もしない} (条件を満たさないことが判明済み)\\[.2zh]  \ \  \bm{\mathRM{P}と隣り合う領域(\mathRM{Q}とする) → 斜線で塗る}(条件を満たすはず) \\[.2zh]  \ \  \bm{\mathRM{Q}と隣り合う領域 → 何もしない}(条件を満たさないはず) \\[.5zh]  \ \ 実際に境界線を境に交互に斜線塗りをすると,\ \bm{軸と境界線を混同しやすい}ので注意する. 不等式$(x-1)(y-x)(y-x^2)$の表す領域を図示せよ. 求める領域は,\ \textbf{上図の斜線部分.\ 境界線を含まない.}} 境界線は,\ x-1=0,\ y-x=0,\ y-x^2=0より,\ x=1,\ y=x,\ y=x^2\,である. \\[.2zh] 交点が(0,\ 0),\ (1,\ 1)となることに注意して図示する. \ 与えられた不等式を満たさない. \\[.2zh] よって,\ (0,\ 1)を含む領域は求める領域ではないことに注意して交互に斜線塗りする. \\[1zh] なお,\ 斜線塗りした4つの領域は,\ 同値変形で生じる以下の4条件にそれぞれ対応している. \\[.5zh]
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