AB>0、AB<0型の不等式の表す領域

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不等式\ $(x²+y²-4)(x+y-2)0$\ の表す領域を図示せよ.  次のように同値変形をしてから図示する. この型の領域を図示するとき,\ 次の事実を知っておくと楽になる. {境界線となるのは,\ A=0とB=0を満たす曲線(直線)}である. 座標平面は,\ この境界線によっていくつかの領域に分けられる. ここで,\ を満たす領域から,\ 境界線Aを越えて隣の領域に移動するとする. このとき,\ 移動先は0を満たす領域である. つまり,\ {「境界線を越える」ことは,\ 符号の逆転を意味する.} の領域において境界線を越えるとする. 境界線Aを超えればAの符号が逆転,\ 境界線Bを超えればBの符号が逆転する. とにかく,\ {境界線を越えたとき,\ AかBのどちらか一方の符号が逆転する.} このとき,\ {積ABの符号も逆転する.} つまり,\ 領域ABから境界線を越えると,\ そこは領域ABである. 逆に,\ 領域ABから境界線を越えると,\ そこは領域ABである. 結局,\ {境界線を越えるたびに,\ 必ずABの正負が入れ替わる.} これは,\ 図においては,\ 次のようになることを意味している. {境界線を越えるたびに,\ 必ず「含む」「含まれない」が入れ替わる.} このことを利用すると,\ 型の領域の図示が容易になる. {1つの領域が含まれるか否かがわかれば,\ 他の領域が自動的に決まる}からである. 問題の不等式が{ある領域を含むか否かは,\ 簡単な1点を調べるとわかる.} 例えば,\ 上の問題では,\ 原点(0,\ 0)が条件を満たすかを調べてみればよい. よって,\ {原点は条件を満たす領域ではない}ことがわかる. 後は,\ 次のような手順で,\ 順番に斜線塗りを行っていく. {原点を含む領域{P}  → 何もしない} (条件を満たさないことが判明済み) P}と隣り合う領域{Q} → 斜線で塗る}(条件を満たすはず) Q}と隣り合う領域{R} → 何もしない}(条件を満たさないはず) こうして,\ 「かつ」や「または」で領域を判断するよりも素早く図示できる. 本問ならば,\ 普通に「かつ」や「または」で判断してもそこまで大変ではない. しかし,\ 例えば\ (x²+y²-4)(x+y-2)(x-y)>0\ となると大変である. やはり,\ 境界線を図示してから,\ 簡単な1点を調べて判断するべきである. 後は,\ 境界線を境に交互に斜線塗りを行えばよい. 求める領域は,\ 上図の斜線部分.\ 境界線を含む. {「(円の外側)かつ(直線の下側)」または「(円の内側)かつ(直線の上側)」}である. 上で述べた通り,\ {境界線を境に必ず「含む」「含まない」が入れ替わる}点にも注目.
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