角の二等分線の方程式(軌跡の利用)

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2直線$l:2x-y-3=0,\ \ m:x-2y=0$のなす角の二等分線$L$の方程式を求めよ. \\ 角の二等分線の方程式}}}} 2直線からの距離が等しい点の軌跡}}として求められる.   角の二等分線上の点を\textcolor{red}{P$(X,\ Y)$}とする. \\[.5zh]   \textcolor{magenta}{点Pが直線$L$上にあることと,\ 点Pと2直線$l,\ m$との距離が等しいことは同値}である. \求める角の二等分線Lの方程式は \bm{x+y-3=0,\ \ x-y-1=0}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 高校数学で角の二等分線とくれば,\ 角の二等分線と辺の比の関係の利用を考えるのが基本であった. \\[.2zh] もちろん,\ その観点で角の二等分線の方程式を求めることもできる. \\[.2zh] しかし,\ 線分の長さや内分点の座標を求める必要が生じ,\ 非常に面倒である. \\[.2zh] 角の二等分線の方程式に限っては\bm{軌跡の考え方を利用するのが普通}で,\ 実にあっさりと求められる. \\[1zh] 点\text Pは(x,\ y)としてもよいが,\ 2直線l,\ mのx,\ yとの混同を防ぐために(X,\ Y)とした. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)と直線\ ax+by+c=0\ の距離 \bm{\bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}}} \\[2zh] 結局,\ \zettaiti{A}=\zettaiti{B}\ の扱いに帰着する.\ この型の絶対値は,\ 一発ではずすことができるのであった. \(両辺が0以上なので2乗しても同値) A^2=B^2\ \Longleftrightarrow\ A^2-B^2=0\ \Longleftrightarrow\ (A+B)(A-B)=0\ \Longleftrightarrow\ A=\pm\,B \\[1zh] なお,\ \bm{2本の角の二等分線は必ず互いに直交する.} \\[.2zh] 上図において,\ ●と×2個ずつで180\Deg なので,\ 1個ずつだと90\Deg である. \\[1zh] 最後に,\ 代表的な軌跡を改めてまとめると以下のようになる. \\[.5zh]  [1]\ \ \bm{1点}からの距離が等しい点の軌跡  \bm{円} \\[.5zh]  [2]\ \ \bm{2点}からの距離が等しい点の軌跡  \bm{垂直二等分線} \\[.5zh]  [3]\ \ \bm{2直線}からの距離が等しい点の軌跡 \bm{角の二等分線}
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