2定点から見込む角が一定である点の軌跡

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bisector-angle
座標平面上に2点A$(-\,1,\ 0)$,\ B(1,\ 0)がある. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点Pが$\angle\mathRM{APB}=90\Deg$を満たしながら動くとき,\ 点Pの軌跡を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 点Pが$\angle\mathRM{APB}=60\Deg$を満たしながら動くとき,\ 点Pの軌跡を求めよ.2定点から見込む角が一定である点の軌跡}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ 点Pの座標を$(x,\ y)$とする. \\[.2zh] APB=90\Deg}$よりPはA,\ Bとは異なる点であるから,\ $\textcolor{red}{(x,\ y)\neqq(\pm\,1,\ 0)}$である. \\[1zh] 求める軌跡は,\ \bm{原点を中心とする半径1の円}.\ \ ただし,\ \bm{点(\pm\,1,\ 0)を除く.}$}  \betu\ \ 点Pの座標を$(x,\ y)$とする. \ まず,\ \bm{点\mathRM{P}が点\mathRM{A,\ B}と一致するとき,\ \angle\mathRM{APB}が定義できない}ことに注意する. \\[.2zh] 本解では,\ \bm{直角三角形であることと三平方の定理が成立することが同値}であることを利用している. \\[1zh] ベクトルを学習済みならば,\ 直角に圧倒的な強さをもつベクトルを利用すると簡潔に済む(別解). \\[.2zh] ベクトルの垂直条件は,\ \bm{内積が0}となることである. \\[.2zh]  \bekutoru*a=(a_1,\ a_2),\ \bekutoru*b=(b_1,\ b_2)のとき \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b=a_1b_1+a_2b_2 \\[1zh] 一般に,\ \bm{2定点から見込む角が90\Deg である点の軌跡は,\ 2定点を直径とする円}となる(\bm{2定点は除く}). \\[.2zh] このことは,\ 円周角の定理およびその逆を考慮するとほぼ自明である. \\[.2zh] 場合によっては答えだけでも満点をもらえるかもしれないが,\ 丁寧に記述すると上のようになる. $y$軸上にAQB=60\Deg}}$となる点Qをとると円周角の定理の逆}により,\ 4点A,\ B,\ P,\ Qは同一円周上の点である. \つまり,\ $\angle\mathRM{APB=60\Deg}$を満たす点Pは弧AQB上にある. 逆に,\ 点Pが弧AQB上にあるとき,\ \textcolor{red}{円周角の定理}より\ \ $\mathRM{\angle AQB=\angle APB=60\Deg}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [1],\ [2]\,より,\ 点Pの軌跡は弧AQBである. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 円の中心をCとすると,\ $\angle\mathRM{AQB=60\Deg}$より,\ $\angle\mathRM{ACB=120\Deg}$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ \textcolor{forestgreen}{$\triangle$OBCは$\mathRM{OB=1},\ 30\Deg,\ 60\Deg,\ 90\Deg$の直角三角形}である. \\[.2zh] 見込む角が直角でない場合,\ 数式的に求めようとすると計算がかなり面倒になる. \\[.2zh] よって,\ \bm{図形的に求めることが推奨される.} \\[1zh] まず,\ 「\,\angle\mathRM{APB=60\Deg}\ \Longrightarrow\ 弧\mathRM{AQB}上\,」を示す. \\[.2zh] 対称性を考慮し,\ \bm{y軸上に2点\textbf{A,\ B}から見込む角が60\Deg となる点を設定する.} \\[.2zh] さらに,\ 以下の円周角の定理の逆により,\ 点\text Pが必ず弧\mathRM{AQB}上にあることが示される. \\[.5zh]  2点\text{P,\ Q}が直線\text{A,\ B}に関して同じ側にあるとする. \\[.2zh]  このとき,\ \angle\mathRM{APB=AQB}ならば,\ 4点\mathRM{A,\ B,\ P,\ Q}は同一平面上にある. \\[1zh] 次に,\ 「\,弧\mathRM{AQB}上\ \Longrightarrow\ \angle\mathRM{APB=60\Deg}\,」を示す.\ これは円周角の定理から明らかである. \\[1zh] 後は,\ 円の中心の座標と半径を求めればよい.\ 中心角が円周角の2倍であることを利用する.
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