絶対値付き不等式 |x+y|≦a、|x|+|y|≦a の表す領域

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次の不等式の表す領域を図示せよ. 求める領域は,\ {上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} 絶対値が付いているならば,\ それを外してから図示すればよい. 外し方の基本は,\ ただし,\ 本問は次の同値関係を用いて一発で外せる型である. {aが正の定数のとき -1 x+y1\ は,\ {-1 x+y\ かつ\ x+y1}\ である. 本問の領域の図示は容易だが,\ 頻出するので暗記推奨である. {対称性を利用する.  一般に,\ ${F(x,\ y)=0}$のグラフにおける対称性が次である. F(x,\ -y})=F(x,\ y) & ならば x軸対称} F(-x},\ y)=F(x,\ y) & ならば y軸対称} F(-x},\ -y})=F(x,\ y) & ならば 原点対称} F(y},\ x})=F(x,\ y) & ならば 直線y=xに関して対称} わかりやすく表現すると,\ 次のようになる. yを-yに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ x軸対称である. xを-xに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ y軸対称である. xを-x,\ yを-yに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ 原点対称である. xをy,\ yをxに変えて,\ 全体として式が変わらなければ,\ y=xに関し対称である. { }\ このとき,\ $F(x,\ -y)=F(-x,\ y)=F(x,\ y)}\ が成立する.$ { }\ よって,\ $求める領域は,\ x軸とy軸に関して対称}である.$ 求める領域は,\ {上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} { $[l} x+ y-10\ より,\ F(x,\ y)= x+ y-1\ とおくのが基本的かもしれない. ただし,\ 定数部分は変化しないから,\ 同じことである. 真面目に場合分けすると,\ 絶対値が2つあるので,\ 次のように4つになる. 面倒な上,\ 紛らわしく見通しも悪い.\ 応用性もない. 絶対値付き不等式の表す領域は,\ {常に対称性の有無を調べる}癖をつけておく. 結局,\ x軸対称かつy軸対称であり,\ これから原点対称もいえる. {x軸対称かつy軸対称であれば,\ 第1象限のみの領域を考えれば済む.} x0,\ y0,\ y-x+1\ を図示すると,\ 上図の水色の部分となる. これを,\ x軸とy軸に関して対称になるように折り返せばよい. 絶対値を見て,\ 「場合分けが面倒だ」と抵抗感を持っていたかもしれない. むしろ逆で,\ {絶対値のおかげで対称性を生まれ,\ 容易に図示できる}のである. 一般に,\ x+ y a\ (a0)\ が次のような領域を表すことは{暗記必須}である. { x+ y a  頂点(a,\ 0),\ (0,\ a),\ (-a,\ 0),\ (0,\ -a)の正方形} 不等式\ $1 x-2}+ y-2}3$\ の表す領域を$xy$平面に図示せよ.  このとき,\ $F(x,\ -y)=F(-x,\ y)=F(x,\ y)}$\ が成立する.  よって,\ 求める領域は,\ $x軸とy軸に関して対称}である.$  ゆえに,\ をx方向に2,\ y方向に2平行移動}した領域である.$  このとき,\ $G(x,\ -y)=G(-x,\ y)=G(x,\ y)}$\ が成立する. x軸とy軸に関して対称}である.$  ゆえに,\ 表す領域が次である.$ $x方向に2,\ y方向に2$平行移動}すると,\ の表す領域となる. x軸とy軸に関して対称となるよう折り返す}と,\ 問題の領域となる.$ $求める領域は,\ {上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} 絶対値をまともに場合分けして外そうなどと考えると,\ 地獄絵図になる. 本問は,\ {対称性と平行移動の考慮が必須}である. まず,\ 問題の領域がx軸とy軸に関して対称であることを確認する. 結局,\ 第1象限だけを考えればよく,\ このとき{内側の絶対値が外れ},\ となる. が,\ { x+ y a型の領域を平行移動したもの}と気付けるかが重要である. x+ y a型の領域を1つの型として暗記してなければ厳しいだろう. もちろん,\ 平行移動の基本知識も必要である. x方向にa,\ y方向にb平行移動するとき,\ x→ x-a,\ y→ y-b\ とするのだった. 一度整理する.\ 問題の領域の第1象限がである. よって,\ の図示ができれば,\ 後は対称になるよう折り返すだけである. を図示するには,\ {1 x+ y3\ を図示し,\ 平行移動}すればよい. を図示するために,\ の対称性を確認する. x軸とy軸に関して対称であるから,\ 第1象限だけを考え,\ 折り返せばよい. の第1象限は,\ -x+1 y x+3\ (水色の部分)である. これをx軸とy軸に関して対称となるように折り返して,\ 領域が得られる. をさらに,\ 平行移動することで,\ 領域(黄色の部分)を得る. これをさらに折り返して,\ 問題の領域を得る. ちなみに,\ 本問は2013年大阪大学(理系)の大問2である.
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