正領域と負領域、直線と線分が交わる条件

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bisector-angle
上図はいずれも平面が直線\ y=\bunsuu12x+1\ で分割されている. \\[.8zh] 注意すべきは,\ \bm{上側が正領域となるとは限らない}ことである. \\[1zh] 同じ上側の領域でも,\ f(x,\ y)の設定次第で,\ 正領域・負領域が入れ替わる. \\[1zh] 直線\ y=ax+b\ が,\ 2点\mathRM{A}(-\,1,\ 1),\ \mathRM{B}(2,\ 4)$を結ぶ線分と共有点をもつとき,\ $a,\ b$の \\[.2zh] \hspace{.5zw}条件を求め,\ それを$ab$平面上に図示せよ. \\ 直線と線分が交わる条件   直線と\.{線}\.{分}が交わる条件は,\ \textbf{\textcolor{blue}{正領域・負領域の観点でとらえる}}と以下となる. \\[.5zh] \centerline{$\bm{\textcolor{red}{「線分の端点の一方が正領域にある」かつ「端点の他方が負領域にある」}}$} \\\\   直線の方程式を$\bm{\textcolor{blue}{f(x,\ y)=0}}$,\ 線分の端点を$\textcolor{red}{(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)}$とする.   ここで,\ 「一方が正で他方が負」は「積が負」という表現に変換できるのであった. \\[.5zh]   直線を\ $\textcolor{cyan}{f(x,\ y)=ax-y+b}\ とおくと,\ 線分と直線が共有点をもつための条件は$ \\ 直線\ y=m_1x+n_1\ と直線\ y=m_2x+n_2\ が共有点を持つ条件は簡単である. \\[.2zh] 当然,\ 「m_1\neqq m_2\ (1点で交わる)」または「m_1=m_2\ かつ\ n_1=n_2\ (完全に一致)」である. \\[1zh] しかし,\ \bm{直線と\dot{線}\dot{分}が交わる条件}となると,\ 途端に話がややこしくなる. \\[.2zh] しかも,\ 本問はy=ax+bであるから,\ \bm{傾きもy切片も変化}する. \\[.2zh] すると,\ 単純に図形的に直線と線分が交わる条件を考えることが難しくなる. \\[.2zh] このような場合,\ \bm{正領域・負領域の考え方を利用}することが有効というわけである. \\[1zh] 本問は線分(端点も含む)との共有点なので,\ \bm{一方の端点が直線y=ax+b上にあってもよい.} \\[.2zh] よって,\ \bm{f(x_1,\ y_1)\cdot f(x_2,\ y_2)\leqq0}\ が条件となる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{AB<0型の領域}図示の問題に帰着する.\ 軸名がa,\ bであることに注意して図示する.
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