正領域と負領域、直線と線分が交わる条件

positive-negative-area
平面が曲線\ {f(x,\ y)=0}\ で分割され,\ 一方が\ f(x,\ y) 他方が\ f(x,\ y) 上図はいずれも平面が直線\ y=12x+1\ で分割されている. 上側は\ y1\ の表す領域,\ 下側は\ の表す領域である. 注意すべきは,\ {上側が正領域となるとは限らない}ことである. 同じ上側の領域でも,\ f(x,\ y)の設定次第で,\ 正領域・負領域が入れ替わる. の表す領域)=(-12x+y-1\ の表す領域) の表す領域)}=({-12x+y-1=0\ の正領域}) (y12x+1\ の表す領域)=(12x-y+1\ の表す領域) の表す領域)}=({12x-y+1=0\ の負領域}) 直線\ y=ax+b\ が,\ 2点{A}(-1,\ 1),\ {B}(2,\ 4)を結ぶ線分と共有点をもつ$ とき,\ $a,\ bの条件を求め,\ それをab平面上に図示せよ.$  直線と線分が交わる条件は,\ 正領域・負領域の考え方でとらえる. ${「線分の端点の一方が正領域にある」かつ「端点の他方が負領域にある」$}  正領域・負領域がそれぞれどちら側かを考える必要はない.  とにかく,\ 一方が正で,\ 他方が負であれば,\ 直線と線分が交わるのである.  一般に,\ 「一方が正で他方が負」は,\ 「積が負」と簡潔に表現できる. のとき,\ 直線と線分は交わらない.  このとき,\ 「両端点が正」または「両端点が負」となるからである.  直線をとおくと,\ 線分と直線が共有点をもつ条件は$    $求める領域は,\ {上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} 直線\ y=m₁x+n₁\ と直線\ y=m₂x+n₂\ が共有点を持つ条件は簡単である. 「m₁ m₂\ (1点で交わる)」または「m₁=m₂\ かつ\ n₁=n₂\ (完全に一致)」だ. しかし,\ {直線と線分が交わる条件}となると,\ 単純ではなくなる. しかも,\ 本問は\ y=ax+b\ であるから,\ {傾きもy切片も変化}する. これでは図形的に条件をとらえることが難しい. そこで,\ {正領域と負領域という考え方を利用}するのである. 本問は線分(端点も含む)との共有点なので,\ {一方の端点が直線上にあってもよい.} よって,\ {f(x₁,\ y₁) f(x₂,\ y₂)0}\ が条件となる. 結局,\ {AB<0型の領域}図示の問題に帰着する. 図示するとき,\ 軸名がa,\ bであることに注意する.
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