連立不等式と2変数関数ax+yの最大・最小

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連立不等式$x^2+y^2\leqq25,\ x+2y\leqq10$が表す領域を$D$とする.\ また,\ $a$を実数とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき,\ $ax+y$の最小値と最大値を求めよ. \\ 連立不等式と2変数関数$\bm{ax+y}$の最大・最小}}}} \\\\   基本方針は,\ 前項で説明したとおりである. \\[.2zh]   ただし,\ 本問は直線の傾きが$-\,a$であり,\ 一定ではない. \\[.2zh]   よって,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{a}$の値で場合分けして考える}}必要が生じる. \\\\\\   $ax+y=k\ とおくと \textcolor{red}{y=-\,ax+k} \cdots\cdots\,\maru1$ \\[1zh]   まず,\ 直線\maru1が領域$D$と共有点をもつような$k$の値の最小値を求める.傾き$-\,a$の値によらず,\ 直線\maru1が円のの部分と接するとき,\ $y$切片$k$が最小となる.} \\[1zh]   円$x^2+y^2=25$と直線$ax+y-k=0$が接する条件は    次に,\ $直線\maru1が領域Dと共有点をもつようなkの値の最大値を求める.円のの部分と接するとき,\ $y$切片$k$が最大となる.} \\[.5zh] \phantom{  [1]}\ \  このとき,\ \maru2より $k=5\ruizyoukon{a^2+1}$ \\\\   [2]\ \ $\textcolor{forestgreen}{-\bunsuu12\leqq-\,a\leqq0},\ つまり\textcolor{forestgreen}{0\leqq a\leqq\bunsuu12}$のとき \\[1zh] \phantom{  [1]}\ \  $\textcolor{red}{y切片kは,\ 直線\maru1が点(x,\ y)=(0,\ 5)を通るとき最大となる.y切片kは,\ 直線\maru1が点(x,\ y)=(4,\ 3)を通るとき最大となる.{円のの部分と接するとき,\ $y$切片$k$が最大となる.} \\ x^2+y^2=25とx+2y=10を連立すると,\ (x,\ y)=(0,\ 5),\ (4,\ 3)である. \\[.2zh] 円と直線がこの2点を共有することに注意して領域Dを図示する. \\[1zh] y=-\,ax+kは,\ \bm{傾き-a,\ y切片kの直線}である. \\[.2zh] 領域Dと共有点をもつように傾き-aの直線を変化させ,\ y切片kの最小・最大を考える. \\[1zh] 傾きが-aなので,\ 様々な傾きの場合を考えてみることになる. \\[.2zh] すると,\ \bm{最小に関しては,\ 傾き-aの値で場合分けする必要がない}ことがわかる. \\[.2zh] 円と直線y=-\,ax+kがなることに注意して答える. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 \bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}} \\\\ 最大は厄介である.\ 傾き-aの値で場合分けする必要が生じる. \\[.2zh] 結局,\ 以下の3つが場合分けの境目となることに気付けるかが問われている. \\[1zh]  [\,\text{A}\,]\ \ \bm{傾き-aが点(0,\ 5)における接線の傾き0と等しくなるとき.} \\[.5zh]  [\,\text{B}\,]\ \ \bm{傾き-aが直線y=-\bunsuu12x+5の傾きと等しくなるとき.} \\[.8zh]  [\,\text{C}\,]\ \ \bm{傾き-aが点(4,\ 3)における接線の傾き-\bunsuu43\,と等しくなるとき.} \\\\ 頭の中だけで考えるのは難しいので,\ 実際に図示して考えてみてほしい. \\[1zh] 以下が成り立つから,\ 等号はどちらに含めてもよい.\ 両方に含めてもよい. \\[.2zh] a=0のとき5\ruizyoukon{a^2+1}=5,\ \ a=\bunsuu12\,のとき5=4a+3,\ \ a=\bunsuu43\,のとき4a+3=5\ruizyoukon{a^2+1} \\\\ 図では,\ 点(0,\ 5),\ (4,\ 3)における円の接線を点線で示した. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)における円x^2+y^2=r^2\,の接線の方程式は x_1x+y_1y=r^2 \\[.2zh]
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