不等式の表す領域(基本)

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直線x=kの右側の部分} 直線x=kの左側の部分} (x-a)²+(y-b)²r² 円の外部} (x-a)²+(y-b)²r² 円の内部} 不等式の表す領域は,\ 不等式を満たす点(x,\ y)の集合を図示したものである. }\ 方程式\ y=f(x)\ を満たす点(x,\ y)の集合が,\ 曲線\ y=f(x)\ であった. 不等式\ yf(x)\ を満たすには,\ 当然yがf(x)よりも大きくなければならない. このような集合は,\ 図で言えば,\ y=f(x)よりも上側の部分である. }\ x座標がちょうどkであるときの集合が,\ 直線x=kである. 当然,\ この直線の右側はx座標がkより大きく,\ 左側はkより小さい. [3]}\ (x-a)²+(y-b)²=r²\ は,\ 点(a,\ b)からの距離がrである点の集合である. (x-a)²+(y-b)²r²は,\ 点(a,\ b)からの距離がrより大きい点の集合である. よって,\ 円の外部を表すわけである. 次の不等式の表す領域を図示せよ.   求める領域は,\ 上図の斜線部分.}   境界線は,\ 放物線${y=x²}$上は含み,\ 直線${y=-x+2}$上は含まない.}   また,\ 点${(-2,\ 4),\ (1,\ 1)}$は含まない.} よって,\ {y=x²\ の上側\ かつ\ y=-x+2\ の下側}である. 後は図示するだけだが,\ 正しく図示できない学生が意外と多い. 「正しく図示できる」とは,\ {「最低限の正確さで短時間に図示できる」}ことである. 情報不足は論外だが,\ 情報が過剰な場合も見にくく,\ 何よりも時間の無駄である. 素早く図示できなければ,\ 実戦では役立たない. {複数の関数を同じ座標平面に図示するとき,\ その位置関係をあらかじめ調べる.} つまり,\ 共有点があるのかないのか,\ あるのならば座標は何かである. 図形的に考えると曖昧さが残るので,\ 連立方程式を解いて厳密に求める. 共有する. 次に,\ {座標平面上に主要な点を全てとる(原点記号と軸名も忘れずに).} 場合によるが,\ 放物線は頂点とy軸との交点,\ 直線はx軸とy軸との交点をとる. さらに,\ 共有点もとる.\ このとき,\ {座標は軸に点線で下ろして書く.} また,\ {含まない点は白丸にする}とわかりやすい(絶対に必要なわけではない). 本問は,\ y x²\ と\ -x+2\ の両方を満たす領域なので,\ 共有点は含まれない. 両方に等号がある場合のみ,\ 共有点を含むことになる. {主要な点を全てとった後,\ 一気に曲線(直線)を描く.} 後は,\ 求める領域を斜線で塗りつぶす. {斜線は,\ 含む境界線とはくっつけ,\ 含まない境界線とは離して描く}とよい. ただし,\ これは絶対に必要なわけではない. 最後に,\ {境界線を含むか否かを疑問の余地がないように記述}して完了する. 特に,\ {2曲線のうち一方を含み,\ もう一方を含まない場合,\ 交点の記述を要する.} 求める領域は,\ 上図の斜線部分.\ 境界線を含む. {円\ x²+y²=4\ の内側\ かつ\ 円\ (x-2)²+y²=1\ の外側}である. 円は,\ 中心と半径が明確に分かるように記述する. 本問のように,\ 共有点の座標が汚く,\ 重要でない場合,\ 無理にとらなくてもよい. 両方の式に等号があるから,\ 共有点も含め,\ 全ての境界線を含む.
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