三角形の内接円の方程式

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bisector-angle
内心は3辺からの距離が等しい点}}である(\textbf{\textcolor{forestgreen}{点と直線の距離の公式}}の利用). 正領域・負領域の考え方を利用して,\ 絶対値をはずす.} 内心$(a,\ b)$は,\ \maru1の正領域,\ \maru2の負領域,\ \maru3の正領域にある.}} \\\\ 内心の座標は,\ 角の二等分線の交点として求めることもできるが,\ 回りくどくなる. \\[.2zh] 正領域・負領域の考え方を利用する解法を習得してほしい. \\[1zh] まず,\ 三角形を作る3直線の方程式を求める. \\[.2zh] 点と直線の距離の公式の利用を見越し,\ \bm{3直線は一般形で表しておく.} \\[.2zh] 認知度は低いが,\ \bm{2点の座標から直接的に一般形の直線の方程式を求める公式}を使うのもよい. \\[.2zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 \bm{(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0} \\[1zh] \bm{中心を文字でおいて点と直線の距離の公式を利用し,\ 3直線までの距離が等しい条件を立式する.} \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離の公式 \bm{\bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}}} \\\\ こうして表れる分子の絶対値を\bm{正領域・負領域の考え方}ではずすのが本問最大のポイントである. \\[.2zh] 平面が直線f(x,\ y)=0で2分割されるとき,\ 点と直線の距離の公式より,\ 絶対値の中身はf(x,\ y)に中心(a,\ b)を代入したものとなる. \\[.2zh] よって,\ \bm{中心(a,\ b)が各直線の正領域・負領域のどちら側にあるかで絶対値の中身の符号がわかる.} \\[1zh] 中心(a,\ b)は,\ 直線\mathRM{AB}\,(\maru1)の正領域・負領域のどちら側にあるだろうか. \\[.2zh] これは,\ \bm{直線\maru1に関して中心(a,\ b)と同じ側にある適当な1点を代入して確認}できる. \\[.2zh] 例えば,\ 中心(a,\ b)と同じ側にある点\mathRM{C}(21,\ 0)を4x-3yに代入してみる. \\[.2zh] \ \bm{中心(a,\ b)は直線\maru1の正領域側にある}とわかる. 同様に,\ 点\mathRM{A}(0,\ 0)は,\ 直線\mathRM{BC}(\maru2)に関して中心(a,\ b)と同じ側にある. \\[.2zh] \bm{中心(a,\ b)は直線\maru2の負領域側にある.} \\[.2zh] よって,\ \zettaiti{8a+15b-168}=-\,8a-15b+168\ と絶対値をはずすことができる. \\[1zh] また,\ b>0は図形的に明らかである. \\[.2zh] 元々,\ 中心(a,\ b)と直線y=0の距離は,\ 公式を使うまでもなく中心のy座標bに等しい. \\[1zh] 絶対値さえはずせば,\ 後は単なる連立方程式である.
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