三角形の内接円の方程式

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3点\ ${A}(0,\ 0),\ {B}(6,\ 8),\ {C}(21,\ 0)\ を頂点とする{ABC}の内接円の方程$  本問のポイントは次の2点である. {内心は3辺からの距離が等しい点}である(点と直線の距離の公式}).}  $$\ 正領域・負領域を利用して,\ 絶対値をはずす.}  内接円の中心を正領域,\ の負領域,\ の正領域にある.   内心は,\ 角の二等分線の交点としてとらえることも可能だが,\ 面倒である. 3直線の方程式を求め,\ 点と直線の距離の公式を使えば,\ 半径も一気に求まる. 公式の利用を見越し,\ {3直線は一般形で表しておく.} 認知度は低いが,\ {2点から直接一般形の直線の方程式を求める公式}を使うと速い. 2点(x₁,\ y₁),\ (x₂,\ y₂)を通る直線の方程式 {中心を文字でおいて,\ 点と直線の距離の公式を適用する.} 点(x₁,\ y₁)と直線ax+by+c=0の距離の公式  ここで表れる分子の絶対値をどう外すかが最大のポイントである. 場合分けではなく,\ {正領域・負領域の考え方}を利用する. 平面が直線f(x,\ y)=0で2分されるとき,\ 一方は  他方は それぞれの絶対値の中身は,\ 直線f(x,\ y)に中心(a,\ b)を代入したものである. 結局,\ {中心(a,\ b)が各直線の正領域・負領域のどちら側にあるかで符号がわかる.} 例えば,\ 中心(a,\ b)は,\ 直線{AB}()の正領域・負領域のどちら側にあるだろうか. これは,\ {に関して中心(a,\ b)と同じ側にある適当な1点を代入して確認}できる. 明らかにに関して中心と同じ側にある点{C}(21,\ 0)で試してみる. 421-30=84\ より,\ {中心(a,\ b)は直線の正領域側にある}とわかる. よって,\ 4a-3b}=4a-3b\ として絶対値をはずすことができる. 同様に,\ 点{A}は,\ 直線{BC}()に関して,\ 中心(a,\ b)と同じ側にある. よって,\ 80-150-168=-168 より,\ {中心は直線の負領域側にある.} ゆえに,\て絶対値をはずすことができる. また,\ は明らかであろう. 元々,\ 中心と直線の距離は公式を使うまでもなく,\ y座標bに等しい. 絶対値さえはずせば,\ 後は単なる連立方程式である. 2式をbと組み合わせて連立するのが簡単であろう.
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