中点の軌跡② 円の弦の中点の軌跡

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円$(x-2)^2+y^2=4$と直線$y=m(x-6)$が異なる2点A,\ Bで交わるとき,\ 線分ABの \\[.2zh] \hspace{.5zw}中点の軌跡を求めよ. \\ 円の弦の中点の軌跡}   $(x-2)^2+y^2=4\ と\ y=m(x-6)\ からyを消去して整理すると$ \\[.2zh] \centerline{$\textcolor{forestgreen}{(m^2+1)x^2-4(3m^2+1)x+36m^2=0} \cdots\cdots\,\maru1$} \\[1zh]   円と直線が異なる2点A,\ Bで交わる条件は,\ \maru1の判別式を$D$とすると \{解と係数の関係}より  基本的な流れは,\ 前項の放物線の中点の軌跡と同様である. \\[.2zh] よって,\ 以下の解説は,\ 前項の内容が理解できていることを前提としている. \\[1zh] まず,\ 図形的な位置関係を確認する. \\[.2zh] y=m(x-6)はmの値によらず(x,\ y)=(6,\ 0)を代入すると成り立つ. \\[.2zh] よって,\ \bm{定点(6,\ 0)を通る傾きmの直線}である. \\[.2zh] ゆえに,\ 求めるのは\bm{点(6,\ 0)を通る直線の傾きを変化させたときの円の弦の中点が描く図形}である. \\[1zh] 最初に,\ \bm{円と直線が異なる2点で交わる条件}を確認する. \\[.2zh] 円と直線の位置関係は,\ 「判別式」または「点と直線の距離の公式」でとらえることができる. \\[.2zh] ここでは,\ 前項の放物線の中点の軌跡にならい,\ \bm{判別式でとらえる}解法を示した. \\[.2zh] すると,\ 後に\bm{解と係数の関係を利用}できる. 交点の座標(\maru1の解)を普通に求めると,\ 式が恐ろしく煩雑になる. \\[.2zh] よって,\ 一旦\bm{交点のx座標を文字でおいて中点の座標を表す}ことを考える. \\[.2zh] \bm{解と係数の関係}を利用すると,\ 中点のx座標を素早くmで表すことができる. \\[.2zh]  ax^2+bx+c=0の2解を\,\alpha,\ \beta\,とすると \alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca \\[.8zh] 求める軌跡は,\ \bm{\maru3と\maru4から媒介変数mを消去して導かれる\dot{図}\dot{形}\dot{上}\dot{に}\dot{あ}\dot{る}.} \\[1zh] x=6を\maru3に代入すると,\ 6(m^2+1)=2(3m^2+1)より6=2となり矛盾する. \\[.2zh] よって,\ y=m(x-6)をmについて解くことができる. \\[.8zh] m=\bunsuu{y}{x-6}\,は,\ \maru3の分母をはらってm^2\,で整理した\maru6に代入すると後が楽になる. \\[1.5zh] さらに,\ \bm{媒介変数mの範囲をxの範囲に変換する.} \,のとりうる値の範囲を求めると考える. \\[.8zh] \bm{分数式は,\ (分子の次数)<(分母の次数)と変形するのが基本}であった(\bm{分子の次数下げ}). \\[.2zh] 分母と分子の次数が等しい場合,\ \bm{分母と同じ形を無理矢理分子に作る}と素早く分子を次数下げできる. \\ この変形により,\ \bm{分母と分子に散らばっている変数tを分母の1ヶ所に集められる}わけである. \\[1zh] 後は,\ tの範囲から徐々にxの範囲に変換していく. \\[.2zh] \bm{各辺に負数を掛けたり,\ 各辺の逆数をとったりする}と不等号の向きが逆転することに注意する. \\[.5zh] 幾何的解法}\,] \\[1zh]   円$(x-2)^2+y^2=4$の中心をC,\ 点$(6,\ 0)$をDとする. \\[.2zh]   また,\ 線分ABの中点をPとする. \\[1zh]   \textcolor{cyan}{円の中心から弦に下ろした垂線の足は弦の中点と一致}するから,\   よって,\ 点Pは常に\ $\textcolor{red}{\mathRM{\angle CPD=90\Deg}}$\ を満たすように動く. \\[.2zh]   ゆえに,\ \textcolor{red}{点Pは線分CDを直径とする円上にある}. \\[.2zh]   これは, 中心(4,\ 0),\ 半径2の円である. \\[1zh]   \textcolor{red}{$\mathRM{P=C}$}のときも条件を満たすから,\ 求める軌跡は \\[.5zh] 常に\angle\mathRM{CPD}=90\Deg\,より,\ \bm{2定点を見込む角が常に90\Deg となる点の軌跡}を考えることになる. \\[.2zh] これは,\ \bm{2定点を直径とする円(2定点は除く)}となるのであった. \\[.2zh] \bm{円の直径に対する円周角が常に90\Deg であることの逆}である. \\[1zh] \mathRM{CP\perp AB}のとき,\ 点\text Pは線分\mathRM{CD}を直径とする円のうち,\ 点\text{C,\ D}を除いた部分上にある. \\[.2zh] 円と直線が異なる2点で交わる範囲を考慮すると,\ 軌跡が円上のどの部分かがわかる.
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