中点の軌跡② 円の弦の中点の軌跡

「円と放物線が2点A,Bで交わる」とありますが、 「円と直線が2点A,Bで交わる」 の誤りですm(_ _)m

circle-chord
円$(x-2)²+y²=4$と直線$y=m(x-6)$が異なる2点A,\ Bで交わる とき,\ 線分ABの中点の軌跡を求めよ.  $(x-2)²+y²=4\ と\ y=m(x-6)\ からyを消去して整理すると$  円と放物線が2点A,\ Bで交わる条件は   判別式\ 解と係数の関係}より  線分ABの中点  分母を払うと  $ {中心(4,\ 0),\ 半径2の円 まず,\ 図形的な位置関係を確認する. y=m(x-6)は,\ {定点(6,\ 0)を通る傾きmの直線}である. よって,\ 変化するのは,\ 直線の傾きだけである. 求めるのは,\ {直線の傾きを変化させたときの円の弦の中点が描く図形}である. 最初に,\ {円と直線が2点で交わる条件}を確認する. 円と直線の位置関係は,\ 「判別式」か「点と直線の距離の公式」でとらえられた. 本来は,\ 判別式よりも点と直線の距離の公式のほうが簡潔である. しかし,\ 本問では,\ {後で解と係数の関係を利用したいので,\ 判別式でとらえる.} 本解ではmの範囲まで求めたが,\ 結果的にはm²の範囲が求まれば済む. {解と係数の関係で弦の中点のx座標を表す.} {y座標は,\ 弦の中点が直線上にあることを利用}する(mのみの式にする必要なし). 結局,\ とから{mを消去して,\ x,\ yの関係式を導けばよい.} をmについて解き,\ に代入する. このとき,\ あらかじめをm²について整理しておくとよい. これにを代入して整理すると,\ 求める軌跡の方程式(円)が導かれる. さらに,\ {媒介変数mの範囲をxの範囲に変換する}わけだが,\ かなり厄介である. の取りうる値の範囲である. ここで,\ 分数関数は,\ 必ず{(分子の次数)(分母の次数)}の形に変形できる. 本問に限らず,\ {分数関数は分母の次数よりも分子の次数を低くするのが基本}だ. 今,\ (分子の次数)=(分母の次数)=(1次)であるから,\ 分子を定数にできる. 分母分子の次数が等しい場合,\ {分母と同じ形を無理矢理分子に作る}方法が早い. この変形により,\ {分母と分子に散らばっていた変数が,\ 分母の1ヶ所に集まった.} 後は,\ {tの範囲から徐々にxの範囲に変換}していく. 結局,\ 円の3の部分が求める軌跡である. 幾何的に解く}]  円$(x-2)²+y²=4$の中心をC,\ 点$(6,\ 0)$をDとする.  また,\ 線分ABの中点をPとする.  円の中心から弦に下ろした垂線の足は弦の中点と一致}するから を満たすように動く.  ゆえに,\ 求める軌跡は,\ 線分CDを直径とする円}である.  これは, 中心(4,\ 0),\ 半径2の円である. の内部にある部分.}$} 円は,\ 「1点からの距離が等しい点の集合」である. 一方で,\ {「2定点を見込む角が常に90° である点の集合」}と考えることもできる. {円の直径に対する円周角が常に90° であることの逆}である. これを利用した解法が別解である. 直角でない場合も,\ {2定点を見込む角が常に一定である点の集合は円(の一部)}だ. 円周角が常に一定であることの逆である. このように,\ {「角度が常に一定」という図形問題}では,\ 幾何的な考察が有効である.
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