放物線と線分が交わる条件

本問は、根本的な考え方・解の配置(存在範囲)問題(高難度)・領域図示と多くの重要ポイントを含む良問であるが、その分難易度が高い。

特に、解の存在範囲(配置)の部分に関しては、すでに基本ができている学生を対象とした簡潔な解説となっている。「少なくとも1つの実数解をもつ条件」については以下で確認しておいてほしい。

parabola-segment
xy平面上の原点と点(1,\ 2)を結ぶ線分(両端を含む)をLとする.$ $曲線\ y=x²+ax+b\ がLと共有点を持つような実数の組(a,\ b)の集合$ $をab平面上に図示せよ.                 [京都大]$  直線と線分の共有点とは異なり,\ 正領域・負領域の考え方は通用しない.  次のように2点で交わるとき,\ 線分の両端点が同じ側になるからである.  最初から図形的に考えるのは難しいので,\ 一旦数式的に同値変形する.  「共有点をもつ}」}は,\ 数式的には「連立方程式が実数解をもつ}」}である.  {直線の一部と放物線との連立方程式が実数解をもつ条件に帰着する. 原点と点(1,\ 2)を結ぶ線分L 少なくとも1つの共有点をもつ}$  線分連立する共有点をもつとき,0 x1$に少なくとも1つの実数解をもつ. 0 x1$に2つの実数解をもつ(重解を含む)}とき 判別式\0 x1$に1つの実数解をもつ} 求める領域は,\ {上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} 数式的に考えると,\ 結局,\ {解の配置(存在範囲)問題}に帰着する. 中でも,\ 「少なくとも1つの実数解をもつ」は,\ 最も厄介なタイプである. ここでは,\ 最も基本的と思われる方法で解答した. {「2つの実数解(重解を含む})をもつ」と「1つの実数解をもつ」に場合分け}する. 2つの実数解をもつ条件は,\ 「判別式」「軸」「f(k)の正負」に着目して立てる. 1つの実数解をもつ条件は,\ f(0)とfの一方が0以上で,\ 他方が0以下である. この条件は,\ 積が0以下という1つの式で簡潔に表される. 後は,\ の4条件を全て満たす領域とを満たす領域を合わせた領域を図示する. 図示する際は,\ まず放物線と直線の位置関係を確認する必要がある. このような連立で,\ {放物線と直線がx=0で接する(重解だから)}ことがわかる. 図形と数式の相互関係を常に意識しているかが問われる良問}である.
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