中点の軌跡① 放物線の弦の中点の軌跡

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放物線\ y=x²\ と直線\ y=m(x+1)\ が異なる2点{A,\ B}で交わるとき,$ $線分{AB}の中点の軌跡を求めよ.$  $y=x²\ と\ y=m(x+1)\ からyを消去して整理すると$  放物線と直線が2点A,\ Bで交わる条件は $ {放物線\ y=2x²+2x\ の\ の部分}$} まず,\ 図形的な位置関係を確認する. y=m(x+1)は,\ {定点(-1,\ 0)を通る傾きmの直線}である. よって,\ 変化するのは直線の傾きだけである. 求めるのは,\ {直線の傾きを変化させたときの弦の中点が描く図形}である. 最初に,\ 放物線と直線が2点で交わる条件を確認する. 次に,\ 軌跡上の動点(x,\ y)を求める(mで表す). しかし,\ 文字を含む2次方程式の解であるから,\ まともに求めると面倒である. 中点の座標であれば,\ 次の{解と係数の関係}を利用して求めるのが簡潔である. ただし,\ 本解の方法で求める場合,\ 積\ αβ\ は結果的には必要ない. この後を本解とは異なる方法で求めてみる. 点{A,\ B}はy=x²上にあるから,\ A(α,\ α²),\ B(β,\ β²)\ とおける. よって,\ {弦ABの中点P}の座標は, この2式から{媒介変数mを消去}すればよい. 本問のように放物線の弦であれば,\ この方法も悪くない. y座標が\ α,\ β\ で簡潔に表されるからである. しかし,\ 円の弦の場合にはy座標が簡潔に表せないので大変である. よって,\ 本解のような求め方が推奨される. 弦の中点{P}は直線y=m(x+1)上の点である. よって,\ {y座標を弦の中点ではなく,\ 直線上にある条件で定めることができる.} つまり,\ x座標さえ求まれば,\ y座標は直線の式にそのx座標を代入すれば求まる. 実際にyを求めると  ここからmを消去すると,\ x,\ yの関係式が導かれ,\ それが求める軌跡である. 結局は,\ {x= m2\ と\ y=m(x+1)\ からx,\ yの関係式を導く}わけである. となると,\ 一旦mで表してからmを消去してx,\ yの式にするのは回りくどい. {最初からmを消去する方向で処理}していけばよく,\ それが本解である. 最後,\ {mの範囲をxの範囲に変換}する.
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