中点の軌跡① 放物線の弦の中点の軌跡

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放物線\ y=x^2\ と直線\ y=m(x+1)\ が異なる2点\mathRM{A,\ B}で交わるとき,\ 線分\mathRM{AB}の$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$中点の軌跡を求めよ.$ 放物線の弦の中点の軌跡}   $y=x^2\ と\ y=m(x+1)\ からyを消去して整理すると$ \\[.2zh]   $y=x^2$と$y=m(x+1)$が異なる2点A,\ Bで交わる条件は,\ 判別式を$D$とすると \\[.2zh]   解と係数の関係}より $   線分ABの中点の座標を まず,\ 図形的な位置関係を確認する. \\[.2zh] y=m(x+1)はmの値によらず(x,\ y)=(-\,1,\ 0)を代入すると成り立つ. \\[.2zh] よって,\ \bm{定点(-\,1,\ 0)を通る傾きmの直線}である. \\[.2zh] ゆえに,\ 求めるのは,\ \bm{点(-\,1,\ 0)を通る直線の傾きを変化させたときの弦の中点が描く図形}である. \\[1zh] 最初に,\ 放物線と直線が異なる2点で交わる条件D>0を確認する. \\[.2zh] 次に,\ 軌跡の問題の基本通り軌跡上の動点を(x,\ y)とし,\ これをmで表す. \\[.2zh] しかし,\ 2交点\mathRM{A,\ B}のx座標は文字を含む方程式\maru1の解なので,\ 普通に求めると式が煩雑になる. \\[.2zh] そこで,\ 一旦\bm{交点のx座標を文字でおいて中点の座標を表す}ことを考える. \\[.2zh] 点\mathRM{A,\ B}は直線y=m(x+1)上にあるから,\ \bm{\mathRM{A(\alpha,\ m(\alpha+1)),\ B(\beta,\ m(\beta+1))}}\ とおける. \\[.4zh] このとき,\ \mathRM{弦ABの中点P}の座標は, さらに,\ \bm{解と係数の関係を利用}する. \end{cases} (\bm{媒介変数型の軌跡の問題}) \\\\[-.5zh] 求める軌跡は,\ \bm{媒介変数mを消去して導かれるy=2x^2+2x\,\dot{上}\dot{に}\dot{あ}\dot{る}.} \\[1zh] 今,\ y座標を\,\alpha,\ \beta\,で表してからその\,\alpha,\ \beta\,をmで表し,\ さらにそのmを消去した. \\[.2zh] どうせ\,\alpha,\ \beta\,を消去するのならば,\ 最初からy座標を\,\alpha,\ \beta\,で表さずに処理すると余計な手間が省ける. \\[.2zh] つまり,\ \bm{x=\bunsuu{\alpha+\beta}{2}=\bunsuu m2\ と\ y=m(x+1)\ から直接mを消去}すればよいわけである. \\[1.3zh] mを消去しただけでは,\ 求める軌跡がy=2x^2+2x上のどこかであるということしかわからない. \\[.2zh] \bm{mの実数存在条件をxの条件に反映させる}と,\ 軌跡がどの部分かが確定する.
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