放物線\ y=x^2\ と直線\ y=m(x+1)\ が異なる2点A,\ B}で交わるとき,\ 線分AB}の$
$中点の軌跡を求めよ.$ 放物線の弦の中点の軌跡}
$y=x^2\ と\ y=m(x+1)\ からyを消去して整理すると$
$y=x^2$と$y=m(x+1)$が異なる2点A,\ Bで交わる条件は,\ 判別式を$D$とすると
解と係数の関係}より $
線分ABの中点の座標を
まず,\ 図形的な位置関係を確認する.
y=m(x+1)はmの値によらず(x,\ y)=(-\,1,\ 0)を代入すると成り立つ.
よって,\ 定点(-\,1,\ 0)を通る傾きmの直線}である.
ゆえに,\ 求めるのは,\ 点(-\,1,\ 0)を通る直線の傾きを変化させたときの弦の中点が描く図形}である.
最初に,\ 放物線と直線が異なる2点で交わる条件D>0を確認する.
次に,\ 軌跡の問題の基本通り軌跡上の動点を(x,\ y)とし,\ これをmで表す.
しかし,\ 2交点A,\ B}のx座標は文字を含む方程式①の解なので,\ 普通に求めると式が煩雑になる.
そこで,\ 一旦交点のx座標を文字でおいて中点の座標を表す}ことを考える.
点A,\ B}は直線y=m(x+1)上にあるから,\ A(α,\ m(α+1)),\ B(β,\ m(β+1))\ とおける.
このとき,\ 弦ABの中点P}の座標は,
さらに,\ 解と係数の関係を利用}する.
(媒介変数型の軌跡の問題}) [-.5zh]
求める軌跡は,\ 媒介変数mを消去して導かれるy=2x^2+2x\,\dot{上}\dot{に}\dot{あ}\dot{る}.}
今,\ y座標を\,α,\ β\,で表してからその\,α,\ β\,をmで表し,\ さらにそのmを消去した.
どうせ\,α,\ β\,を消去するのならば,\ 最初からy座標を\,α,\ β\,で表さずに処理すると余計な手間が省ける.
つまり,\ x=α+β}{2}= m2\ と\ y=m(x+1)\ から直接mを消去}すればよいわけである.
mを消去しただけでは,\ 求める軌跡がy=2x^2+2x上のどこかであるということしかわからない.
mの実数存在条件をxの条件に反映させる}と,\ 軌跡がどの部分かが確定する.
