定点を通る直線、2直線の交点を通る直線(直線束)

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最後ax+bx+c=0となっていますが、ax+by+c=0の誤りですm(_ _)m

直線\ $(k+2)x+(2k-1)y-4k-3=0$\ が,\ $定数k$の値に関係なく通る 定点Aの座標を求めよ.  問題を次のように言い換えて解く. kの値に関係なく通る定点の座標}」}$   ${→「kに何を代入しても式が成立するような(x,\ y)を求める}」}$   ${→「kについての恒等式となるよう(x,\ y)を定める}」} 恒等式とは,\ 文字通り「恒(つね)に等しい式」である. {「kの値によらず\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0」「f(x,\ y)=g(x,\ y)=0」} さて,\ 本問は,\ 「直線が通る定点を求める」ことを目標とする問題である. しかし,\ 応用問題においては,\ 定点を求めることは単なる初手にすぎない. また,\ ご丁寧に「定点を求めよ」などという誘導があることは少ない. 言われなくても,\ 本問のような式を見た場合,\ {自分で定点を探しにいく}. {定点は,\ 応用問題を図形的に解決するための強力な手がかりとなる.} 本問の直線を基本形に変形すると y=-{k+2}{2k-1}x-{4k+3}{2k-1} (k12) 図形的に考えようにも,\ 傾きもy切片もkの値で変化し,\ とらえきれない. しかし,\ 自分で定点に気付くことが,\ 図形的な考察を可能するのである. 2直線\ $x+2y-4=0,2x-y-3=0$\ の交点を通る直線のうち,\ 次の 条件を満たす直線の方程式を求めよ.  \ $点(1,\ 2)を通る$  \ 直線\ $3x-y+1=0$\ と平行となる  \ 直線\ $x-2y+3=0$\ と垂直となる {2直線の交点を求めずに}直線の方程式を求めるうまい解法を習得しよう.  先の問題の要点をもう一度確認する.  $→}\ 「直線\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ が必ず通る点}」}$ {2直線\ f(x,\ y)=0,\ g(x,\ y)=0\ の交点}」}$  これを逆に考える「2直線\ f(x,\ y)=0,\ g(x,\ y)=0\ の交点を通る直線}」} この式で,\ {kをどのように変えても,\ 直線\ f(x,\ y)=0\ を表すことはできない.} これは,\ {kf(x,\ y)+lg(x,\ y)=0}\ と設定すると克服できる. これにより,\ k=1,\ l=0\ とすると,\ 直線\ f(x,\ y)=0\ が得られるようになる. 実際には,\ 問題が生じない限り,\ 扱いやすい\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ を用いる. この定点を通る直線全体の集合を{「直線束(そく)」}という.  2直線の交点を通る直線は これと直線$3x-y+1=0$との平行条件}は  \ 直線$x-2y+3=0$との垂直条件}は いずれも,\ 実際に2直線の交点を経由せずに求められる. 本問(直線束)は,\ 交点を経由しても割と楽に求まるが,\ 後の円束では大変になる. 早い内に,\ この考え方に慣れておこう. 一般形の2直線\ a₁x+b₁x+c₁=0,a₂x+b₂x+c₂=0\ が与えられたとき {平行条件\ a₁b₂-a₂b₁=0   垂直条件\ a₁a₂+b₁b₂=0} 一般形で求め,\ 一般形で答えることで,\ 場合分けの必要はなくなる.
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