図形の存在条件(直線に関する対称点の存在条件)

line-symmetric-point
放物線\ y=x²\ 上に,\ 直線\ y=ax+1\ に関して対称な位置にある異なる$ $2点{P,\ Q}が存在するようなaの範囲を求めよ.       [一橋大]  「点が存在」という条件に身構える必要はない.  とにかく,\ 必要なだけ文字を設定してでも,\ 問題の条件を全て数式にする.  すると,\ 方程式の実数存在条件に帰着する  2点P,\ Qが直線\ $y=ax+1$\ に関して対称であるための条件は 図形が存在する条件と聞くと,\ どうしてよいかわからなくなる学生が多い. 本問は,\ 点の存在条件である. とにかく,\ {勇気を出して文字を設定}し,\ 問題の条件を全て数式にしてしまおう. 後は,\ {方程式の実数解が存在する条件}を考えればよい. {条件式を全て満たす実数が存在するならば,\ 図形が存在する}ことになるのである. 2点{P,\ Q}が直線ℓ に関して対称である条件は,\ 次の2つが成立することである. {「直線{PQ}⊥ℓ」「線分{PQ}の中点がℓ 上にある」} 直線\ y=m₁x+n₁,\ y=m₂x+n₂\ の垂直条件は {m₁m₂=-1} なお,\ 積が-1になるのであるから,\ a=0である可能性はない. これが\ y=ax+1\ 上にあるから,\ 代入してを得る. とは,\ {α\ と\ β\ の対称式}である. よって,\ {α+β\ と\ αβ\ をaで表す}方向で処理していく. 後は,\ {2つの異なる実数\ α,\ β\ が存在するようなaの範囲}を求める. {基本対称式をなす2数の実数存在条件は,\ 2次方程式を作成して考える.} {2数\ α,\ β\ を解にもつ2次方程式の1つは t²-(α+β)t+αβ=0} (t-α)(t-β)=0\ の展開と考えても,\ 解と係数の関係の逆と考えてもよい. 異なる2つの実数解をもつ条件は,\ 当然
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