a,\ b,\ c$を定数とするとき,\ 次の方程式を解け.\ ただし,\ では$b²-4ac0$とする. \ これを満たす$x$は存在しない. \$となり,\ すべての$x$がこれを満たす. a=b=c=0\ のとき & 解はすべての数. a=b=0,\ c0\ のとき & 解なし. \ まず,\ 問題は,\ 「2}次}方程式を解け」ではなく,\ 「方程式を解け」である. よって,\ {x²の係数が文字の場合,\ 方程式が1次以下である可能性も考慮しなければならない.} 方程式が2次でなければ,\ 2次方程式の解法は使えないので場合分けする. つまり,\ x²の係数が0になるa=0のときは別個に考えなければならない. この場合の解がどうなるかは,\ 実際にa=0を代入してみればよい. なお,\ 問題が「2}次}方程式を解け」でも,\ 「2次方程式なのでa0」という記述は必要である. つまり,\ どちらにしてもx²の文字係数には常に意識を払って問題を解かなければならない. a0のときは2次方程式となり,\ 2次方程式の解法が使える. 因数分解できれば因数分解,\ できなければ解の公式である. 本問は因数分解可能であり,\ x+a=0とax-1=0に帰着する. ax-1=0は,\ a0より両辺をaで割ることができ,\ x=1a\ となる. x²の係数a²-1=0,\ つまりa=1のときの場合を分けて考える必要がある. a1のとき,\ Ax²=Bの形なので平方根の定義を利用する. {x²=p\ (p0})\ のとき,\ x={p\ である.\ 下線部に注意.\ {p<0ならxは存在しない.} よって,\ a-1<0,\ つまりa<1のときの場合を分ける必要がある.\ このとき,\ xは存在しない. x²の係数aが0か否かで場合分けする.\ a=0のとき,\ bx+c=0となる. 文字係数の1次方程式bx+c=0については,\ 数と式分野でも取り上げた. b=0のときは1次方程式にならないので,\ {bが0か否かで場合分け}を要する. さらに,\ b=0のときは{cが0か否かでも場合分け}を要する. a0のときは2次方程式となるから,\ 解の公式が利用できる. もしb²-4ac0の条件がなければ,\ このときとb²-4ac<0のときとで場合分けを要する. b²-4ac<0のとき,\ 解の公式の根号の中が負になる. よって,\ 解は存在しないように思える.\ しかし,\ 実は実数解は存在しないが,\ 虚数解が存在する. 虚数解は数II}の学習内容なので,\ ここではb²-4ac0を前提としたわけである.
