三角形の3つの内角の二等分線は必ず1点で交わる.\ その交点を内心という.3辺からの距離が等しい点}(内接円の中心})}である.
普通,\ 水色の点線と赤線はずれる(二等辺三角形の頂角から底辺に二等分線を引いた場合は一致).
つまり,\ 内角の二等分線と対辺の交点(緑)と内心から下ろした垂線の足(青)は一致しない.}
二等辺三角形でないのにこの2点が一致するかのように図示する学生が非常に多いので要注意！
Iから辺BC,\ CA,\ ABに下ろした垂線をID,\ IE,\ IFとする
\ \ \ したがって,\ 点Iは$∠$Aの二等分線上にある.
\ \ \ ∴$ 三角形の3つの内角の二等分線は1点Iで交わり,\ 点Iは3辺から等距離}である. \\
$△$ABCの$∠$A,\ $∠$B,\ $∠$Cの内角の二等分線と対辺の交点をそれぞれP,\ Q,\ Rとする.チェバの定理の逆}より,\ 3直線AP,\ BQ,\ CRは1点で交わる.
2つの内角の二等分線の交点を Iとし,\ 3つ目の内角の二等分線も点 Iを通ることを示せばよい.
実際には,\ 一旦3つ目の直線AI}を引いた後,\ ∠ IAE=∠ IAF}であることを示す.}
このとき,\ 直角三角形の合同条件}を利用することになる.
「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」
斜辺IB共通,\ ∠ IBD=∠ IBF\ より,\ △ IBD≡△ IBF}\ である.
斜辺AI共通,\ IE=IF\ より,\ △ IAE≡△ IAF}\ である.
3つの内角の二等分線が1点で交わることのみならば,\ チェバの定理の逆で示すこともできる.
内角の二等分線ときたら辺の比を考える}のであった.
AR:RB=CA:CB,\ \ BP:PC=AB:AC,\ \ CQ:QA=BC:BA}\ が成立する.
点Iは$△$ABCの内心である.\ 角$α,\ β$を求めよ.
内心に関する角の問題は3頂点と内心を結ぶ線分が内角を二等分する}ことを利用する.
(1)\ \ α\,を求めるには(○+×)}さえわかればよく,\ ○と×がそれぞれ何度かは必要ない.
\ \ △ABC}の内角の和180°\,から\ ∠A}を引くと,\ ∠ Bと\ ∠ C}の合計,\ つまり(2○+2×)が求まる.
\ \ これを2で割ると(○+×)となる.
(2)\ \ 内角を二等分することを用いると容易に\ α\ が求められる.
\ \ △ABC}の内角の和180°\,から\ ∠Aと\ ∠ C}を引くと\ ∠B}が求まるので,\ これを2等分する.
\ \ 三角形の外角はそれと隣り合わない他の2つの内角の和に等しい}ことを用いて\ β\ が求まる.
\ \ 中学で学習済みであるが,\ 使いこなせていない学生は少なくない.
\ \ もちろん,\ 次のようにしても求められるが回りくどくなってしまう.
内心に関する長さの問題では,\ 内角の二等分線と辺の比の関係}を利用する.
『内心\ →\ 二等分線の交点\ →\ 内角の二等分線と辺の比の関係』を素早く連想できるようにしておこう.
まず△ABC}に着目}し,\ 辺の比からBD}の長さを求める.
BD:DC=6:5\ より\ BD:BC=6:11\ であるから,\ BDはBCの\ 6}{11}\ である.}
さらに△ABD}に着目}し,\ 辺の比からAI:ID}が求められる.
このように,\ 2つの角で内角の二等分線と辺の比の関係を2回適用する}と内心の位置が特定できる.
