2点$A(1,\ 1),\ B(5,\ 3)}$があり,\ さらに点Pが直線$y=2x+1$上にあるとする.
\ \ $AP=BP}$となるときの点Pの座標を求めよ.
(2)\ \ 頂点が$A(1,\ 1),\ B(5,\ 2),\ C(2,\ 4)}$である$△$ABCの外心Oの座標を求めよ.
(3)\ \ 頂点が$A(0,\ 1),\ B(5,\ 1),\ C(4,\ 4)}$である$△$ABCがある.
\ \ $AP^2+BP^2+CP^2}$が最小になるときの点Pの座標を求めよ. \座標平面上の2点間の距離
三平方の定理\ AB^2=AC^2+BC^2\,を座標を用いて表現したにすぎず,\ 中学生レベルの公式である.
2乗するのでx_1\,とx_2,\ y_1\,とy_2\,の大小関係を気にする必要はない.
つまり,\ √{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\,と計算してもよい.
(1)\ \ 点Pの座標を$(a,\ 2a+1)$とする.
$AP=BPよりAP^2=BP^2$であるから
未知の Pの座標を文字で設定し,\ 条件を立式する.
(a,\ b)とすると後が面倒なので,\ 1文字で設定する.
√{ }\,が鬱陶しくなるので,\ 条件は2乗して扱う}とよい.
(2)\ \ 外心の座標を
外心(外接円の中心)は「3頂点からの距離が等しい点」}であるから,\ OA=OB=OC\,が成り立つ.
√{ }\,が鬱陶しくなるので,\ OA^2=OB^2=OC^2\,として立式する.
実際には,\ (等式の数)=(等号の数)}より,\ 「\,OA^2=OB^2\ \ かつ\ \ OA^2=OC^2」と考えるとよい.
もちろん,\ 「\,OA^2=OB^2\ \ かつ\ \ OB^2=OC^2」}\ などとしてもよい.
解答では,\ 点Bの座標よりも簡単な点Aの座標を多く用いるほうで計算した.}
一見面倒な計算に見えるが,\ x^2\,とy^2\,が消えて単なる連立1次方程式となる.
点 Pの座標を文字で設定して計算すると,\ 2変数関数の最小問題}に帰着する.
本問は,\ 2変数x,\ yが互いに無関係(独立)}の単純なパターンである.
この場合,\ xの部分の最小とyの部分の最小を別々に考えれば済む.}
それぞれ2次関数なので平方完成すると,\ (x,\ y)=(3,\ 2)のとき最小値20になるとわかる.
三角形の3頂点からの距離の2乗の和が最小となる点は三角形の重心}である}ことが知られている.
実際,\ すぐ後に学習する重心の公式を用いて(x,\ y)=0+5+4}{3},\ 1+1+4}{3}=(3,\ 2)が求まる.
