放物線$y=x^2$上の点Pと直線$y=x-2$の最短距離とそのときの点Pの座標を
\ \ 求めよ.
(2)\ \ 放物線$y=x^2$上の点Pと2点A$(0,\ -\,2)$,\ B$(3,\ 1)$を頂点とする$△$ABPの面積$S$
{放物線と直線の最短距離
(2)\ \ 直線ABの方程式は Sの最小値}\
(1)\ \ 結局は点と直線の距離であるから,\ 点と直線の距離の公式の利用が簡潔である.
\ \ 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離は ax_1+by_1+c{√{a^2+b^2
\ \ 放物線上の点を文字でおいて公式を適用すると,\ 2次関数の最小問題に帰着する.
\ 絶対値をはずすことができる. -つけて絶対値をはずすことになる.
(2)\ \ △PAB}の底辺を線分AB}とみると,\ 底辺の長さは一定である.
\ \ よって,\ 高さの最小,\ つまり放物線と直線の最短距離を求めることに帰着する.
\ \ 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離 √{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}三角形の面積公式を用いて(2)を求める}\,]
点Pの座標を$(t,\ t^2)}$とおく.
$△$ABPを点Aが原点となるように平行移動して$△OB’P’}$となるとすると
(2)のみならば,\ 以下の面積公式を利用すると速い.
3点O}(0,\ 0),\ A}(x_,\ y_1),\ B}(x_2,\ y_2)を頂点とする三角形の面積 S=12x_1y_2-x_2y_1
1点が原点となるように平行移動してから適用する.
{接線の利用(数II：整式の微分)}\,
$y=x^2$は下に凸である. {$y=x^2\,の点P}での接線が直線y=x-2と平行になるとき,\ 最短距離となる.$} \\[
$△$ABPを点Aが原点となるように平行移動して$△OB’P’}$となるとすると
実は,\ 「接線と直線が並行になるとき最短距離となる」という知識を用いると簡潔に済む.
ただし,\ この事実を無断使用してよいかは微妙である.
y=x-2と平行,\ つまり接線の傾きが1}となる条件を立式すると,\ そのときの接点P}が求まる.
