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三角形の3頂点から対辺(or 延長線上)に下ろした垂線は必ず1点で交わる.}}} \\[.2zh] \scalebox{.95}[1]{その交点を\textbf{\textcolor{blue}{垂心}}という.\ 至る所に\textbf{\textcolor{magenta}{相似な直角三角形}}が隠れている.直角三角形鈍角三角形
一般の三角形の相似条件は『\bm{2組の角がそれぞれ等しい}』である. \\[.2zh] よって,\ 直角三角形の相似条件は『\bm{直角以外の1組の角が等しい}』である. \\[.2zh] 直角が多数ある場合,\ 容易に相似条件が成立するわけである. \\[1zh] 直角が多数ある場合,\ 次の\bm{共円条件}(4点が同一円周上にある条件)も成立しやすくなる. \\[.2zh] \maru1\ \ \bm{1組の対角の和が180\Deg}   \maru2\ \ \bm{円周角の定理の逆}  (詳細は円のところで) \\[1zh] 左図の\mathRM{四角形ADHFで\ \angle D+\angle F=180\Deg}\ より,\ \bm{4点\mathRM{A,\ D,\ H,\ F}}は同一円周上にある. \\[.2zh] 同様に,\ \bm{4点\mathRM{B,\ E,\ H,\ D}}と\bm{4点\mathRM{C,\ F,\ H,\ E}}も同一円周上にある. \\[1zh] 右図で\ \mathRM{\angle BDC=\angle BFC=90\Deg}\ より,\ \bm{4点\mathRM{B,\ C,\ F,\ D}}は同一円周上にある(円周角の定理の逆). \\[.2zh] 同様に,\ \bm{4点\mathRM{C,\ A,\ D,\ E}}と\bm{4点\mathRM{A,\ B,\ E,\ F}}も同一円周上にある.
直線CHと辺ABの交点をD,\ 直線BHと辺ACの交点をEとする.
とにかく\bm{垂線を下ろして直角を作成する}に尽きる. \\[.2zh] わかるところから求めていけばいつかは求まるが,\ 本問では四角形\mathRM{ADHE}に着目すると早い. \\[.2zh] 本問を一般化