sankakukei-mensekihi

検索用コード
高さが同じ三角形の面積比\ →\ 底辺の比底辺が同じ三角形の面積比\ →\ 高さの比
角が同じ三角形の面積比\ →\ 角を挟む辺の積の比
等高と等底については中学で学習済みであるが,\ [2]について少し補足しておく. (相似)
高校生は新たに[3]の\bm{等角の三角形の面積比}を知っておかなければならない. \\[.2zh] 一見するとわかりづらいが,\ \bm{三角比による三角形の面積公式を用いた証明}を理解しておけば済む. \\[.6zh] 比を分数で表すと
面積比は,\つまり\bm{APとABの比およびAQとACの比だけで決まる}}のである.
$ABCにおいて辺ABを$3:2$に内分する点をD,\ 線分CDを$5:4$に内分する点をE \\[.2zh] \hspace{.5zw}とするとき,\ $\triangle$ABCと$\triangle$ADEの面積比を求めよ.
面積比を考える場合,\ \bm{小さいかけらまたは全体をSとおいて他をSで表していく}とよい. \\[.2zh] 場合によるが,\ 小さいかけらをSとする方法はわかりやすいが遠回りになることが多い. \\[.2zh] 一方,\ 全体をSとするのは慣れが必要な反面,\ 手っ取り早く済むことが多い. \\[1zh] ここではまず小さいかけらである\triangle\mathRM{ADE}をSとおく方針で求める. \\[.2zh] 次に\triangle\mathRM{AEC}と\triangle\mathRM{BDE}のどちらを表すかで2通りのルートがあるが,\ ここでは\triangle\mathRM{AEC}を表そう. \\[.2zh] \triangle\mathRM{ADEと\triangle AECの高さは双方AHなので(中央図),\ その面積比は底辺DEとECの比に等しい.} \\[.2zh] 比をもとに\mathRM{\triangle AEC}がSで表され,\ さらに\mathRM{\triangle ADE}の面積Sと合わせると\mathRM{\triangle ADCの面積になる.} \\[.2zh] \mathRM{\triangle ADCと\triangle BDCの高さ双方\mathRM{CI}なので(右図),\ その面積比は底辺ADとDBの比に等しい.} \\[.2zh] 比をもとに\mathRM{\triangle BDC}がSで表され,\ さらに\mathRM{\triangle ADC}の面積と合わせると\mathRM{\triangle ABC}の面積になる.
先に\triangle\mathRM{BDE}を表すルートでも求めてみよう. \\[.2zh] \triangle\mathRM{ADEと\triangle BDEの高さは双方EJなので(右図),\ その面積比は底辺ADとDBの比に等しい.} \\[.2zh] 比をもとに\mathRM{\triangle BDE}がSで表され,\ さらに\mathRM{\triangle ADE}の面積Sと合わせると\mathRM{\triangle ABEの面積になる.} \\[.2zh] \mathRM{\triangle ABEと\triangle ABCはABを底辺とみるとそれぞれの高さはEJとCIである(右図).} \\[.2zh] \mathRM{よって,\ その面積比はEDとCDの比に等しいことを用いて\triangle ABC}の面積が求まる.
全体をSとする方針で求める.\ 先に\mathRM{\triangle ADCを求めるか\triangle ABEを求めるかの2通りがある.} \\[.2zh] ここではまず\mathRM{\triangle ADC}を求める.\ \mathRM{AD:DB=3:2より,\ AD:AB=3:5}である. \\[.2zh] よって,\ \mathRM{\triangle ADC:\triangle ABC=\triangle ADC}:S=3:5であり,\ \triangle \mathRM{ADCが求まる.} \\[.2zh] いちいち比の形で考えるより,\ 瞬時に\mathRM{\triangle ADCは\triangle ABC全体の\,\bunsuu35}とできるのが望ましい. \\[.5zh] さらに,\ \mathRM{DE:EC=4:5よりDC:EC=9:5であるから,\ \triangle ADEは\triangle ADCの\bunsuu49である.} \\[.5zh] 慣れれば全体の\,\bunsuu35\,のさらに\,\bunsuu49\,と素早く判断できるようになるだろう.
\hspace{.5zw}$\triangle$ABCにおいて辺ABを$3:2$に内分する点をD,\ 辺BCを$1:2$に内分する点をE, \\[.2zh] \hspace{.5zw}辺CAを$5:4$に内分する点をFとするとき,\ $\triangle$ABCと$\triangle$DEFの面積比を求めよ.
本問は全体をSとし,\ 周りの3つの三角形を引いて\mathRM{\triangle DEF}を求めるのが楽である. \\[.2zh] 周りの3つの三角形はそれぞれ\mathRM{\triangle ABC}と角の1つを共有している(\bm{等角}). \\[.2zh] よって,\ その角を挟む辺の積の比が面積比となる. \\[1zh] まず,\ \mathRM{\triangle ADF:\triangle ABC=AD\times AF:AB\times ACである.} \\[.2zh] \mathRM{AB=3+2=5,\ AC=4+5=9}として代入すればよい. \\[.2zh] 同様に,\ \mathRM{\triangle BED:\triangle ABC=BE\times BD:BC\times BAである.} \\[.2zh] \mathRM{BC=1+2=3,\ BA=2+3=5}として代入すればよい. \\[.2zh] \mathRM{\triangle CFE}についても同様である.