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円に内接する四角形}} 円に内接する四角形の対角の和は$\bm{180\Deg}$}{円に内接する四角形の内角はその対角の外角に等しい.
三角形は常に円に内接する(外接円が存在する)が,\ 四角形は常に外接円が存在するとは限らない. \\[.2zh] \bm{対角の和が180\Deg\,であることが四角形の外接円の存在条件}である. \\[1zh] 証明も容易なので確認しておいて欲しい. \\[.2zh] 円周角と中心角の関係より,\ 右図の\,\alpha\,に対する中心角は\,2\alpha,\ \beta\,に対する中心角は\,2\beta\ である. \\[.2zh] 2\alpha+2\beta=360\Deg\ より,\ \bm{\alpha+\beta=180\Deg}\ が成立する.
円に外接する四角形{円に外接する四角形の対辺の和は等しい.
証明も容易である.\ ただし,\ 次の事実は証明済みとする. \\[.2zh] 『円外の点\mathRM Aから円に2本の接点を引いたとき,\ 点\mathRM{A}から接点\mathRM{P,\ Q}までの距離は等しくなる』 \\[.2zh] この事実より,
(2)\ \ 上右図のように2円の交点をF,\ Gとする.
(1)\ \ 求まるところから順に求めていけばいつか\,\alpha\,が求まるなどと考えていると行き詰まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ むしろ,\ \bm{他の角を\,\alpha\,で表して方程式を作成する}ことを考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ 円に内接する四角形の内角は対角の外角に等しいから,\ \mathRM{\angle CDF=\angle ABC}\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ 外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいから,\ \mathRM{\angle DCF=\alpha+25\Deg}\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \mathRM{\triangle CDF}の内角の和が180\Deg\,であることを用いて方程式を作成すればよい. \\[1zh] (2)\ \ 2円が交わる構図では\bm{共通弦を引く}のが1つの基本方針である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の場合,\ 円に内接する四角形が2つでき,\ それぞれで円の内接四角形の性質が利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ちなみに,\ \beta=\mathRM{\angle BAD}=95\Deg\ より同位角が等しいから,\ \bm{直線\mathRM{ABと直線DC}は平行}である. 周の長さ28の四角形ABCDが円に外接しているとき,\ ADとCD \\[.2zh] \hspace{.5zw}の長さを求めよ. \\