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x^2-x+2a=0\ が絶対値1の解をもつように実数aの値を定めよ.$ \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\ \centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{方程式の実数解と虚数解}}}} \\\\[.5zh]  [1]\ \ \textcolor{red}{実数解をもつ}とき,\ $\zettaiti x=1\ より\ \textcolor{cyan}{x=\pm\,1}$\ である. \\[.5zh]     $\textcolor{cyan}{x=1}\ のとき \ \ \ 1-1+2a=0 より \textcolor{red}{a=0}$ \\[.2zh]     $\textcolor{cyan}{x=-\,1}\ のとき 1+1+2a=0 より \textcolor{red}{a=-\,1}$ \\\\  [2]\ \ \textcolor{red}{虚数解をもつ}とき,\ 判別式\ $D=1-8a<0\ より \textcolor[named]{ForestGreen}{a>\bunsuu18}\ \cdots\cdots\maru1$ \\[.5zh]     2つの虚数解を$\alpha,\ \kyouyaku\alpha$とすると,\ \textcolor{magenta}{解と係数の関係}より $\textcolor{magenta}{\alpha\kyouyaku\alpha=2a}$ \\[.2zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 複素数平面上で方程式の解を考察するとき,\ \bm{実数解と虚数解で場合分け}するのが基本である. \\[.2zh] 実数解の場合は解の間には何の関連性もないが,\ \bm{虚数解の場合は互いに共役}となるからである. \\[1zh] 実数解と虚数解では,\ 解と係数の関係の扱いも違ってくる. \\[.2zh] 実数係数の2次方程式\ ax^2+bx+c=0\ の異なる2解を\ \alpha,\ \beta\ とする. \\[.2zh] このとき,\ \bm{解と係数の関係\ \alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca}\ が成立する. \\[.8zh] 2解\ \alpha,\ \beta\ が実数であればこれで終わりだが,\ 虚数解の場合には続きがある. \\[.2zh] 虚数解ならば\ \alpha,\ \beta\ は互いに共役であるから,\ \bm{\beta=\kyouyaku\alpha}\ とおける. \\[.2zh] よって,\ \bm{\alpha+\kyouyaku\alpha=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\kyouyaku\alpha=\zettaiti{\alpha}^2=\bunsuu ca}\ が成立する. \\[1zh] 実数解ならば絶対値が1になるのは\ x=\pm\,1\ の場合のみなので,\ 各場合についてaを求めればよい. \\[.2zh] 虚数解の場合,\ \bm{虚数解をもつ条件(D<0)を確認した上で解と係数の関係を利用}する. \\[.2zh] \zettaiti \alpha=\zettaiti{\kyouyaku\alpha}\ なので,\ \zettaiti{\alpha}=1\ になるように実数aを定めさえすればよい. \\[.2zh] 実際には,\ 解と係数の関係を利用するため,\ \zettaiti{\alpha}^2=1\ と考える. \\[1zh] 解と係数の関係を利用しない別解も示しておく. \\[.2zh] 直接的に\ \zettaiti{x}^2=\zettaiti{\Cnum{c}+{d}}^2=c^2+d^2=1\ と計算する方法である. \\[.2zh] \ruizyoukon{-2}=\ruizyoukon2\,i\ と同様,\ 1-8a<0\ のとき\ \ruizyoukon{1-8a}=\ruizyoukon{8a-1}\,i\ となる点に注意. \hspace{.5zw}$kを実数として,\ 2次方程式\ x^2+2kx+3k=0\ の2つの解を\,\alpha,\ \beta\ (\alpha\neqq\beta)\ とする.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\zettaiti{\alpha-i}^2+\zettaiti{\beta-i}^2\ の値をkを用いて表せ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $複素数平面において,\ 複素数\ \alpha,\ \beta,\ i\ を表す点をそれぞれ\mathRM{A,\ B,\ P}とする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ $\angle\mathRM{APB}が直角になるようなkの値を求めよ.           [九州大]$ \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\  解と係数の関係より $\textcolor{cyan}{\alpha+\beta=-\,2k,\ \ \alpha\beta=3k}$ \\[.5zh]  判別式\