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を通り,\ 傾きが と平行な直線の方程式}} \ 数学的には,\ 直線を含むすべての図形は条件を満たす点の集合である. \\[.2zh] 直線上の任意の点zが満たすべき条件を数式で表せば,\ それが直線の方程式である. \\[.2zh] \bm{1点と傾きが定まれば1本の直線が定まる.} \\[.2zh] 1点\text{A}(\bekutoru*a)と方向ベクトル\,\bekutoru*d\,による直線のベクトル方程式\ \bekutoru*p=\bekutoru*a+t\bekutoru*d\ と全く同じである. \\[.2zh] ただし,\ 複素数平面では\bm{媒介変数tを使わない表現}に変換できる. \\[.2zh] \bm{z=(実数)\ \Longleftrightarrow\ z=\kyouyaku z}\ を利用するわけである. \\[1zh] 上の式をさらに変形していくと,\ \bm{複素数平面における直線の方程式の一般形}が得られる. \\[.2zh] よって,\ \bm{\alpha\kyouyaku\beta-\kyouyaku\alpha\beta=\gamma\ (純虚数)}とおいて,\ 直線の方程式の一般形\ \bm{\kyouyaku\beta z-\beta\kyouyaku z-\gamma=0}\ が得られる. \\[.2zh] これは座標平面上の直線の方程式の一般形\ ax+by+c=0\ に相当する式である. \\[.2zh] しかし,\ \bm{zと\,\kyouyaku z\,の係数が共役(\kyouyaku\beta,\ \beta)で,\ かつ\ \gamma\ が純虚数}という制限に注意する. \\[.2zh] 例えば,\ 1点\,\alpha=\Cnum{2}+{3}\,を通り,\ 傾きが\,\beta=\Cnum{1}+{2}\,である直線の方程式は次となる. \\[.2zh] (\Cnum{1}-{2})z-(\Cnum{1}+{2})\kyouyaku z+2i=0  逆にこの式を見て直線であることに気付けるかも重要である.  [2]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{2点を通る直線の方程式}} \\[.5zh] \bm{1点\text{\textbf{A}}(\alpha)を通り,\ 傾きが\,\bekutoru{AB}=\beta-\alpha\ と平行な直線の方程式}と考えると[1]と同じである. \\[.2zh] \bm{3点\ \alpha,\ \beta,\ z\ が同一直線上にある条件(共線条件)}と考えてもよい. \\[.2 \bekutoru*p=\bekutoru*a+t\bekutoru*d \\[.2zh] 媒介変数tを用いずに直線を表現できる. 2点を結ぶ線分の垂直二等分線は,\ \bm{2点からの距離が等しい点の集合}としてとらえられる. \hspace{.5zw}次の方程式を満たす点$z$は複素数平面上でどのような図形を表すか. \\[.5zh] \centerline{$\bm{2点\,\bunsuu13-i\ と\ -\bunsuu23i\ を結ぶ線分の垂直二等分線}$} \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 式を見て瞬時に[4]のパターンであることに気付きたい. \\[.2zh] 後は両辺を3で割って\ \zettaiti{z-\alpha}=\zettaiti{z-\beta}\ の形に変形するだけである. %$x-2y+2xi+yi+(x-2y-2xi-yi)-3=0$ \\ \phantom{ (2)}\ \ よって $\textcolor{red}{2x-4y-3=0}$ \\[.2zh] \phantom{ (2)}\ \ この直線は座標平面において\textcolor[named]{ForestGreen}{2点$\left(\bunsuu32,\ 0\right),\ \left(0,\ -\bunsuu34\right)$}を通る. \\[1zh] 一般形から逆に\ \bunsuu{z-\alpha}{\beta-\alpha}=t\ (実数)\ まで遡るのは容易ではない. \\[.8zh] 式を見て直線に気付けば,\ \bm{z=\Cnum{x}+{y}\ とおいて座標平面に帰着させる}のが確実で手っ取り早い.
複素数平面上において,\ 原点を中心とする半径$r$の円周上の点A($\alpha$)における円の \\[.2zh] \hspace{.5zw}接線の方程式を求めよ. \\
求める方程式は,\ 点A($\alpha$)を通り,\ 傾きが\scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{OA}$}\ と垂直な直線の方程式であるから \\[1zh] $\textcolor[named]{ForestGreen}{\bunsuu{z-\alpha}{\alpha}=(0または純虚数)
[3]の\,\beta\,を\,\alpha\,とするだけである. \\[.2zh] 変形していくと\,\alpha\kyouyaku\alpha\,が現れるので,\ これを半径rで表せばよい. \\[1zh] 座標平面で,\ 原点中心,\ 半径rの円周上の点(a,\ b)における接線の方程式はax+by=r^2\,であった. \\[.2zh] z=x+y\,i,\ \alpha=a+b\,iとすると (a+bi)(x-yi)+(a-bi)(x+yi)=2r^2 \\[.2zh] 整理すると\ \ 2ax+2by=2r^2    つまり,\ ax+by=r^2\,となり,\ 一致する.