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3倍角の公式\ $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\ \ \sin3\theta=-\,4\sin^3\theta+3\sin\theta$\ を示せ. \\
\ド・モアブルの定理による三角関数の等式の証明}}}} \\\\[.5zh] ド・モアブルの定理より $\textcolor{red}{(\polar{\theta})^3=\polar{3\theta}}$ \\[1zh] $(左辺)=(\polar{\theta})^3=\cos^3\theta+3\cos^2\theta\cdot i\sin\theta+3\cos\theta\cdot i^2\sin^2\theta+i^3\sin^3\theta$ \\[.2zh] $\phantom{(左辺)}=\cos^3\theta+3\cos^2\theta\cdot i\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta$ \\[.2zh] $\phantom{(左辺)}=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$ \\[.2zh] $\phantom{(左辺)}=\{(\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)\}+i\{3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta\}$ \\[.2zh] $\phantom{(左辺)}=\textcolor{magenta}{(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+i(-\,4\sin^3\theta+3\sin\theta)}$ \\[1.5zh] 右辺の$\polar{3\theta}$と,\ 実部と虚部を比較すると \\[.5zh] \centerline{$\bm{\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta, \sin3\theta=-\,4\sin^3\theta+3\sin\theta}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
三角関数の等式は,\ \bm{複素数を介して\,\cos\,と\,\sin\,をペアで扱うことで鮮やかに証明できる}ことがある. \\[.2zh] その代表が3倍角の公式の証明である.   公式\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\[.2zh] (\polar{\theta})^3\ の展開式とド・モアブルの定理による式の実部と虚部を比較すればよい. \\[.2zh] \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ を用いて,\ 実部を\cos\theta\,のみ,\ 虚部を\sin\theta\,のみに変形する.
$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0,\ \ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0$のとき,\ 次の式を示せ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  $\cos3\alpha+\cos3\beta+\cos3\gamma=3\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}  $\sin3\alpha+\sin3\beta+\sin3\gamma=3\sin(\alpha+\beta+\gamma)$ \\
\scalebox{.97}[1]{よって\ \ ${z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3-3z_1z_2z_3=(\textcolor{cyan}{z_1+z_2+z_3})({z_1}^2+{z_2}^2+{z_3}^2-z_1z_2-z_2z_3-z_3z_1)=0$} \\[.5zh] \scalebox{.97}[1]{ゆえに\ \ $\textcolor{red}{{z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3=3z_1z_2z_3}$} \\\\
$(左辺)={z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3=(\polar{\alpha})^3+(\polar{\beta})^3+(\polar{\gamma})^3$ \\[.2zh] $\phantom{(左辺)={z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3}=(\polar{3\alpha})+(\polar{3\beta})+(\polar{3\gamma})$ \\[.2zh] $\phantom{(左辺)={z_1}^3+{z_2}^3+{z_3}^3}=\textcolor{red}{(\cos3\alpha+\cos3\beta+\cos3\gamma)+i(\sin3\alpha+\sin3\beta+\sin3\gamma)}$ \\\\
$(右辺)=3z_1z_2z_3=3(\polar{\alpha})(\polar{\beta})(\polar{\gamma})$ \\[.5zh] $\phantom{(右辺)=3z_1z_2z_3}=\textcolor{red}{3\{\polar{(\alpha+\beta+\gamma)}\}}$ \\\\
両辺の実部と虚部を比較すると \\[.5zh] $\bm{\cos3\alpha+\cos3\beta+\cos3\gamma=3\cos(\alpha+\beta+\gamma)}$ \\[.5zh] $\bm{\sin3\alpha+\sin3\beta+\sin3\gamma=3\sin(\alpha+\beta+\gamma)}$ \\\\[1zh] \cos\,と\,\sin\,が完全に対等であり,\ 複素数の利用が有効である. \\[.2zh] わかりやすくするために一旦置換すると,\ 条件から和が0であることが導かれる. \\[1zh] ここで,\ 極形式にすると積を次のように計算できるのであった. \\[.2zh] r_1(\polar{\theta_1})\cdot r_2(\polar{\theta_2})=r_1r_2\{\polar{(\theta_1+\theta_2)}\} \\[1zh] 後は,\ \cos3\alpha\,から{z_1}^3,\ あるいは\cos(\alpha+\beta+\gamma)からz_1z_2z_3\,が連想できるかが勝負である. \\[.2zh] 公式\ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\ の利用も自然である.