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2点$\mathRM{A(-2,\ 0),\ B(4,\ 0)}からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ.$ \\  \textbf{座標平面上の図形は,\ 数学的には「\textcolor{red}{条件を満たす点の集合}」である.} \\  よって,\ 求める軌跡は,\ 次のような図形である. \\[.5zh] \centerline{\textbf{「\textcolor{blue}{2点からの距離の比が$\bm{2:1}$である点を全て打ったときにできる図形}」}} \\[.5zh]  しかし,\ 実数は無限にあるから,\ 1つ1つ点を打っていくわけにはいかない. \\  結局,\ \textbf{\textcolor{red}{軌跡上の動点を$\bm{(x,\ y)}$とし,\ この点が条件を満たすよう立式する.}} \\  \scalebox{.95}[1]{こうして導かれた式が条件を満たす点$(x,\ y)$の集合であり,\ 求める軌跡である.} \\\\\\  条件を満たす点条件を満たす点Pは\maru1上にある.}}} \\[.2zh]  逆に,\ \textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{\maru1上の全ての点は条件を満たす.}}} \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{中心(6,\ 0),\ 半径4の円}$} \\\\\\ 軌跡といえども,\ \bm{常に点で考える}よう意識する. \\ 点(x,\ y)が満たすべき条件を求めるのである. \\ 本問においては,\ 点(x,\ y)は\mathRM{AP:BP=2:1}\ という条件を満たすべきである. \\ 結局,\ \mathRM{AP=2BP}をx,\ yで表せばよいが,\ 根号を避けるため,\ 先に2乗しておく. \\ であるから,\ 両辺を2乗しても同値}である. \\ さて,\ 教科書では,\ 最後に逆が確認されている. \\ 図形\mathRM{F}が軌跡であるためには,\ 次の2つを両方とも満たさなければならない. \\  \maru1 \bm{条件を満たす\underline{全て}の点\mathRM{P}が図形\mathRM{F}上にある.} (図形\mathRM{F}が不足するとダメ) \\  \maru2 \bm{図形\mathRM{F}上の\underline{全て}の点\mathRM{P}は条件を満たす.}   (図形\mathRM{F}が過剰でもダメ) \\ 要するに,\ \bm{答える軌跡は必要十分条件でなければならない}のである. \\[1zh] 本解は,\ \bm{「条件を満たす点\mathRM{P}はどんな図形\mathRM{F}上にあることが必要か」}を考えている. \\ よって,\ \bm{図形\mathRM{F}上の全ての点が条件を満たすこと(十分性)の確認が要る}のである. \\ もし,\ 図形\mathRM{F}上に条件を満たさない点があれば,\ それを除外しなければならない. \\ 除外すべき点があるか否かは,\ 本問では図形的に考えればよい. \\[1zh] 厄介なのは,\ 教科書や参考書で,\ この確認の記述の一貫性がないことである. \\ 「同値性が明らかな場合は省略できる」などとして,\ いつのまにか省略されている. \\ あるいは,\ 最初から確認の記述がない参考書もある. \\ もともと,\ 条件から同値変形をしていったのであれば,\ 逆の確認は必要ない. \\ 本問も実質同値変形だが,\ \bm{必要条件という意識で進めた}ので十分性を確認した. \\ よって,\ 次のように同値変形をアピールした記述で済ませることもできる. \\ しかし,\ 実際には,\ 記述試験で同値記号を用いることは推奨できない. \\ 同値でないのに同値記号を使ってしまうと,\ 採点官の心証を悪くするからである. \\ やはり,\ 教科書に準じておくのが最も安全であろう. \\[1zh] 「軌跡を求めよ」の場合,\ 式だけでなく,\ \bm{どのような図形かを答える}必要がある. \\ 本問は円であるので,\ それを特徴づける中心と半径も含めて答えることになる. \\[1zh] 一般に,\ 軌跡が次のような図形になることを覚えておくとよい. \\ \bm{\textcolor{blue}{2点\mathRM{A,\ B}からの距離の比がm:n\ (m>0,\ n>0)\ である点の軌跡}} \\ 線分\mathRM{AB}をm:nに内分する点と外分する点を直径の両端とする円}} \\ \text{[1]}の円を\bm{\textcolor{blue}{アポロニウスの円}}という. \\[1zh] 本問の場合,\ 点\mathRM{A}のx座標-2と点\mathRM{B}のy座標4の内分点と外分点を求めると \\ 内分点\ \bunsuu{1\cdot(-2)+2\cdot4}{2+1}=2,\ 外分点\ \bunsuu{-1\cdot(-2)+2\cdot4}{2-1}=10  (y座標は0) \\ よって,\ \bm{2点(2,\ 0),\ (10,\ 0)を直径とする円(アポロニウスの円)}となる.  \textbf{\textcolor{red}{2点からの距離が等しい点(距離の比が$\bm{1:1}$)の軌跡}}として求められる. \\\\  垂直二等分線上の点 直線分野では\bm{「\mathRM{直線ABと垂直}」「\mathRM{線分ABの中点を通る}」}として求めた. \\ このように,\ 軌跡の考え方を用いて求めることもできるのである. \\[1zh] 「軌跡を求めよ」と異なり,\ 「方程式を求めよ」は逆の確認が必要ないと思われる. \\ もちろん,\ 記述しておいても問題はない.