parabola-chord

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放物線\ y=x^2\ と直線\ y=m(x+1)\ が異なる2点\mathRM{A,\ B}で交わるとき,$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$線分\mathRM{AB}の中点の軌跡を求めよ.$ \\  $y=x^2\ と\ y=m(x+1)\ からyを消去して整理すると$ \\[.2zh]  放物線と直線が2点A,\ Bで交わる条件は \centerline{$\therefore \bm{放物線\ y=2x^2+2x\ の\ の部分}$} \\\\ まず,\ 図形的な位置関係を確認する. \\ y=m(x+1)は,\ \bm{定点(-1,\ 0)を通る傾きmの直線}である. \\ よって,\ 変化するのは直線の傾きだけである. \\ 求めるのは,\ \bm{直線の傾きを変化させたときの弦の中点が描く図形}である. \\[1zh] 最初に,\ 放物線と直線が2点で交わる条件を確認する. \\ 次に,\ 軌跡上の動点(x,\ y)を求める(mで表す). \\ しかし,\ 文字を含む2次方程式\maru1の解であるから,\ まともに求めると面倒である. \\ 中点の座標であれば,\ 次の\bm{解と係数の関係}を利用して求めるのが簡潔である. \\ ただし,\ 本解の方法で求める場合,\ 積\ \alpha\beta\ は結果的には必要ない. \\[1zh] この後を本解とは異なる方法で求めてみる. \\ 点\mathRM{A,\ B}はy=x^2上にあるから,\ \bm{\mathRM{A(\alpha,\ \alpha^2),\ B(\beta,\ \beta^2)}}\ とおける. \\ よって,\ \mathRM{弦ABの中点P}の座標は, この2式から\bm{媒介変数mを消去}すればよい. \\[1zh] 本問のように放物線の弦であれば,\ この方法も悪くない. \\ y座標が\ \alpha,\ \beta\ で簡潔に表されるからである. \\ しかし,\ 円の弦の場合にはy座標が簡潔に表せないので大変である. \\ よって,\ 本解のような求め方が推奨される. \\[1zh] 弦の中点\mathRM{P}は直線y=m(x+1)上の点である. \\ よって,\ \bm{y座標を弦の中点ではなく,\ 直線上にある条件で定めることができる.} \\ つまり,\ x座標さえ求まれば,\ y座標は直線の式にそのx座標を代入すれば求まる. \\ 実際にyを求めると  ここからmを消去すると,\ x,\ yの関係式が導かれ,\ それが求める軌跡である. \\[1zh] 結局は,\ \bm{x=\bunsuu m2\ と\ y=m(x+1)\ からx,\ yの関係式を導く}わけである. \\ となると,\ 一旦mで表してからmを消去してx,\ yの式にするのは回りくどい. \\ \bm{最初からmを消去する方向で処理}していけばよく,\ それが本解である. \\[1zh] 最後,\ \bm{mの範囲をxの範囲に変換}する.