circle-chord

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円$(x-2)^2+y^2=4$と直線$y=m(x-6)$が異なる2点A,\ Bで交わる \\[.2zh] \hspace{.5zw}とき,\ 線分ABの中点の軌跡を求めよ. \\  $(x-2)^2+y^2=4\ と\ y=m(x-6)\ からyを消去して整理すると$ \\[.2zh]  円と放物線が2点A,\ Bで交わる条件は \\[.2zh]   判別式\ \textcolor{cyan}{解と係数の関係}より  線分ABの中点  分母を払うと  \centerline{$\therefore \bm{中心(4,\ 0),\ 半径2の円 まず,\ 図形的な位置関係を確認する. \\ y=m(x-6)は,\ \bm{定点(6,\ 0)を通る傾きmの直線}である. \\ よって,\ 変化するのは,\ 直線の傾きだけである. \\ 求めるのは,\ \bm{直線の傾きを変化させたときの円の弦の中点が描く図形}である. \\[1zh] 最初に,\ \bm{円と直線が2点で交わる条件}を確認する. \\ 円と直線の位置関係は,\ 「判別式」か「点と直線の距離の公式」でとらえられた. \\ 本来は,\ 判別式よりも点と直線の距離の公式のほうが簡潔である. \\ しかし,\ 本問では,\ \bm{後で解と係数の関係を利用したいので,\ 判別式でとらえる.} \\ 本解ではmの範囲まで求めたが,\ 結果的にはm^2の範囲が求まれば済む. \\[1zh] \bm{解と係数の関係で弦の中点のx座標を表す.} \\ \bm{y座標は,\ 弦の中点が直線上にあることを利用}する(mのみの式にする必要なし). \\ 結局,\ \maru3と\maru4から\bm{mを消去して,\ x,\ yの関係式を導けばよい.} \\[1zh] \maru4をmについて解き,\ \maru3に代入する. \\ このとき,\ あらかじめ\maru3をm^2について整理しておくとよい. \\ これに\maru5を代入して整理すると,\ 求める軌跡の方程式(円)が導かれる. \\[1zh] さらに,\ \bm{媒介変数mの範囲をxの範囲に変換する}わけだが,\ かなり厄介である. \\ の取りうる値の範囲である. \\ ここで,\ 分数関数は,\ 必ず\bm{(分子の次数)(分母の次数)}の形に変形できる. \\ 本問に限らず,\ \bm{分数関数は分母の次数よりも分子の次数を低くするのが基本}だ. \\ 今,\ (分子の次数)=(分母の次数)=(1次)であるから,\ 分子を定数にできる. \\ 分母分子の次数が等しい場合,\ \bm{分母と同じ形を無理矢理分子に作る}方法が早い. \\ この変形により,\ \bm{分母と分子に散らばっていた変数が,\ 分母の1ヶ所に集まった.} \\[1zh] 後は,\ \bm{tの範囲から徐々にxの範囲に変換}していく. \\ \\[1zh] 結局,\ 円の3の部分が求める軌跡である. 幾何的に解く}] \\[.5zh]  円$(x-2)^2+y^2=4$の中心をC,\ 点$(6,\ 0)$をDとする. \\[.2zh]  また,\ 線分ABの中点をPとする. \\[1zh]  \textcolor{cyan}{円の中心から弦に下ろした垂線の足は弦の中点と一致}するから \\[.2zh] を満たすように動く. \\[.2zh]  ゆえに,\ 求める軌跡は,\ \textcolor{red}{線分CDを直径とする円}である. \\[.2zh]  これは, 中心(4,\ 0),\ 半径2の円である. \\[1zh]の内部にある部分.}$} \\\\ 円は,\ 「1点からの距離が等しい点の集合」である. \\ 一方で,\ \bm{「2定点を見込む角が常に90\Deg である点の集合」}と考えることもできる. \\ \bm{円の直径に対する円周角が常に90\Deg であることの逆}である. \\ これを利用した解法が別解である. \\[1zh] 直角でない場合も,\ \bm{2定点を見込む角が常に一定である点の集合は円(の一部)}だ. \\ 円周角が常に一定であることの逆である. \\ このように,\ \bm{「角度が常に一定」という図形問題}では,\ 幾何的な考察が有効である.