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最後ax+bx+c=0となっていますが、ax+by+c=0の誤りですm(_ _)m

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直線\ $(k+2)x+(2k-1)y-4k-3=0$\ が,\ $定数k$の値に関係なく通る \\[.2zh] \hspace{.5zw}定点Aの座標を求めよ. \\  問題を次のように言い換えて解く. kの値に関係なく通る定点の座標}」}$ \\[.2zh]   $\bm{\longrightarrow\ \ 「\textcolor{red}{kに何を代入しても式が成立するような(x,\ y)を求める}」}$ \\[.2zh]   $\bm{\longrightarrow\ \ 「\textcolor{red}{kについての恒等式となるよう(x,\ y)を定める}」} 恒等式とは,\ 文字通り「恒(つね)に等しい式」である. \\ \bm{「kの値によらず\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0」\ \Longleftrightarrow\ 「f(x,\ y)=g(x,\ y)=0」} \\[1zh] さて,\ 本問は,\ 「直線が通る定点を求める」ことを目標とする問題である. \\ しかし,\ 応用問題においては,\ 定点を求めることは単なる初手にすぎない. \\ また,\ ご丁寧に「定点を求めよ」などという誘導があることは少ない. \\ 言われなくても,\ 本問のような式を見た場合,\ \bm{自分で定点を探しにいく}. \\ \bm{定点は,\ 応用問題を図形的に解決するための強力な手がかりとなる.} \\ 本問の直線を基本形に変形すると y=-\bunsuu{k+2}{2k-1}x-\bunsuu{4k+3}{2k-1} \left(k\neqq\bunsuu12\right) \\ 図形的に考えようにも,\ 傾きもy切片もkの値で変化し,\ とらえきれない. \\ しかし,\ 自分で定点に気付くことが,\ 図形的な考察を可能するのである. 2直線\ $x+2y-4=0,\ \ 2x-y-3=0$\ の交点を通る直線のうち,\ 次の \\[.2zh] \hspace{.5zw}条件を満たす直線の方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ $点(1,\ 2)を通る$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ 直線\ $3x-y+1=0$\ と平行となる \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ 直線\ $x-2y+3=0$\ と垂直となる \\ {2直線の交点を求めずに}直線の方程式を求める}}うまい解法を習得しよう. \\\\  先の問題の要点をもう一度確認する. \\[.5zh]  $\bm{\phantom{\longrightarrow}\ \ \ 「\textcolor{red}{直線\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ が必ず通る点}」}$ {2直線\ f(x,\ y)=0,\ g(x,\ y)=0\ の交点}」}$ \\\\  これを逆に考える「\textcolor{cyan}{2直線\ f(x,\ y)=0,\ g(x,\ y)=0\ の交点を通る直線}」} この式で,\ \bm{kをどのように変えても,\ 直線\ f(x,\ y)=0\ を表すことはできない.} \\ これは,\ \bm{kf(x,\ y)+lg(x,\ y)=0}\ と設定すると克服できる. \\ これにより,\ k=1,\ l=0\ とすると,\ 直線\ f(x,\ y)=0\ が得られるようになる. \\ 実際には,\ 問題が生じない限り,\ 扱いやすい\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ を用いる. \\ この定点を通る直線全体の集合を\bm{「直線束(そく)」}という.  2直線の交点を通る直線は これと直線$3x-y+1=0$との\textcolor{cyan}{平行条件}は  (3)\ 直線$x-2y+3=0$との\textcolor{cyan}{垂直条件}は \\[.2zh] いずれも,\ 実際に2直線の交点を経由せずに求められる. \\ 本問(直線束)は,\ 交点を経由しても割と楽に求まるが,\ 後の円束では大変になる. \\ 早い内に,\ この考え方に慣れておこう. \\[1zh] 一般形の2直線\ a_1x+b_1x+c_1=0,\ \ a_2x+b_2x+c_2=0\ が与えられたとき \\ \bm{平行条件\ a_1b_2-a_2b_1=0   垂直条件\ a_1a_2+b_1b_2=0} \\ 一般形で求め,\ 一般形で答えることで,\ 場合分けの必要はなくなる.