[1]’の図ではX-X1とy-y1が逆になっていますm(_ _)m

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複数の表現を問題によって使い分ける. \\  そのためには,\ 各表現の特徴を把握しておく必要がある. 基本形通る傾き$\bm{m}$の直線}y軸平行})}$} \\\\ 座標平面上の図形は,\ 数学的には\bm{「点の集合」}である. \\ \bm{直線上の点(x,\ y)が満たす式}が,\ 直線の方程式である. \\ 傾きとy切片が判明している場合,\ 瞬時に基本形で表せる(中学で学習). \\ しかし,\ 直線の方程式を求める問題で,\ その2つが判明している場合は少ない. \\ 実際には,\ [1]’,\ [1]”の場合がほとんどで,\ 最重要なのが[1]’である. \\[1zh] \bm{1点と傾きが定まれば,\ 1本の直線が定まる.} \\ この観点から,\ 直線上の点(x,\ y)が満たす方程式を求めたものが[1]’である. \\ \bm{直線上の任意の点(x,\ y)と点(x_1,\ y_1)の傾き\ \bunsuu{y-y_1}{x-x_1}\ が常に一定である. また,\ 次のように考えて求めた式と一致することにも着目しておこう. \\ \bm{原点を通る傾きmの直線y=mxをx方向にx_1,\ y方向にy_1平行移動する.} \\ この平行移動は,\ x\to x-x_1,\ y\to y-y_1\ と置換することは学習済みである. \\ これらの式の意味を理解した上で,\ さらに公式として暗記しておく. \\ 今後,\ 中学生のように,\ 傾きaを求め,\ y=ax+bとしてbを求めるのは止める. \\ 実際には,\ \bm{\textcolor{red}{y=m(x-x_1)+y_1}}\ と覚えておくと,\ 余計な変形をせずに済む. \\[1zh] なお,\ \bm{y軸に平行な直線は傾きが存在しない.} \\ よって,\ この場合は,\ \maru1の形で表すことはできず,\ \maru2のように表すことになる. \\ x=x_1\ は,\ \bm{「x座標が常にx_1」}を意味している. \\ また,\ yに関しては何ら制限がないので,\ yは全ての実数をとりうる. \\ それゆえ,\ x=x_1\ はy軸平行な直線を表している. \\ ちなみに,\ x軸平行な直線はy=y_1\ と表されるが,\ これは\maru1に含まれる(m=0). \\[1zh] \bm{2点が定まれば,\ 1本の直線が定まる.} \\ この観点から,\ 直線上の点(x,\ y)が満たす方程式を求めたものが[1]”である. \\ 傾きが\ \bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ と求まるから,\ これを[1]’のmに代入しただけである. \\ 実際には,\ \bm{傾きが\ \bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ で,\ 2点のうち1点を通る直線と考え[1]’を適用する.} \\[1.5zh] さて,\ この形の分母を払い,\ 整理してみると次の式になる. \\ 単に分母を払っただけだが,\ それによってx_1=x_2の場合を分ける必要がなくなる. \\ x_1=x_2\ とすると,\ y_1\neqq y_2\ より,\ x=x_1\ が導かれるからである. \\ 以上の理由で,\ 文字を含むようなとき,\ この表現の利用が推奨される. \\ 例として,\ 2点(1,\ 2),\ (a,\ b)を通る直線の方程式を求めよう. \\ 元の公式を使うと,\ 一方,\ 分母を払った形を使えば,\ (b-2)(x-1)-(a-1)(y-2)=0\ だけで済む. 一般形} 直線の方程式で重要なのは,\ 基本形と一般形の違い(長所と短所)である. \\ 基本形は,\ 一瞬で傾きとy切片がわかることが長所である.\ グラフも瞬時に描ける. \\ また,\ 直線を文字で設定するとき,\ 未知数が2つで済む. \\ しかし,\ y=mx+nだけでは,\ y軸に平行な直線を表すことができない. \\ よって,\ \bm{y軸平行になりうるかを吟味し,\ 必要なら場合分け}しなければならない. \\ 一般形は,\ \bm{未知数を3つ要するかわりに,\ 座標平面上の全直線を単一の式で表せる.} \\ 状況に応じてうまく使い分けよう.\ なお,\ a=b=0の場合は意味を持たない. \\[1zh] さらに,\ 一般形の利点として,\ \bm{法線ベクトルが瞬時にわかる}ことが挙げられる. \\ 法線ベクトルとは,\ 直線の傾きに平行なベクトルと垂直なベクトルである. \\ 直線が原点を通るように平行移動すると,\ ax+by=0\ となる. \\ ここで,\ ax+by=0は,\ \bm{内積(a,\ b)\cdot(x,\ y)=0}\ とみなすことができる. \\ 始点を原点\mathRM{O}とするとき,\ 直線の傾きを表すベクトルが\ \bekutoru{OP}=(x,\ y)\ となる. \\ よって,\ \bekutoru*n\cdot\bekutoru{OP}=0\ より,\ \bm{\bekutoru*n\perp\bekutoru{OP}}\ であるから,\ \bekutoru*n\ が法線ベクトルである. \\ 結局,\ \bm{ax+by+c=0の法線ベクトルは,\ \bekutoru*n=(a,\ b)}\ である. 切片形}} x切片とy切片が与えられた場合,\ 瞬時に直線の方程式をこの形で表せる. \\ 普通,\ これを基本形か一般形に変形して答える. \\ 基本形に直せば,\ y=-\bunsuu bax+b\ \left(傾き-\bunsuu ba,\ y切片b\right)\ となる.  (3)\ $\bm{x=2}$  {\normalsize $[\textcolor{brown}{2点のx座標が等しいので,\ y軸平行な直線}]$} \\\\  (4)\ $\bm{y=3}$  {\normalsize $[\textcolor{brown}{2点のy座標が等しいので,\ x軸平行な直線}]$} \ (1)\ できれば,\ 最初から\ y=4(x-2)+3\ と立式しよう. \\ (5)\ 切片形で瞬殺.\ 一般形で答えた.\ 基本形\ y=-\bunsuu23x+2\ で答えてもよい.