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数\text{I}:数と式分野で絶対値付き1次不等式を学習済みである.\ 2次になっても本質的に同じである. \\[.2zh] つまり,\ 「絶対値はとにかくはずせ」ということである. \\[.2zh] 通常は場合分けを要するが,\ 本問は\bm{瞬殺型}であり,\ 一発ではずすことができる. \\[.2zh] 瞬殺型の絶対値付き不等式 \bm{a>0\ のとき \zettaiti x>a\ \Longleftrightarrow\ x<-\,a,\ a<x} \\[.2zh] 後は2次不等式を解くだけである.\ もちろん,\ 図形的意味を考えて解く. \\[1zh] 絶対値付き方程式・不等式は,\ グラフを利用して図形的に解くことも有効である(別解). \\[.2zh] 視覚的にわかりやすく,\ 特にグラフの図示が容易な問題に対しては強力である. \\[.2zh] 本問は図形的には「y=\zettaiti{x^2-2x}\,のグラフが直線y=1の上側にあるxの範囲を答えよ」である. \\[.2zh] y=\zettaiti{x^2-2x}\,のグラフは,\ 次の2点に着目することで素早く図示できる.\ 場合分けも必要ない. \\[.2zh]  \maru1\ \ x^2-2x=x(x-2)より,\ x軸とx=0,\ 2で交わる. \\[.2zh]  \maru2\ \ 全体に絶対値がつくと,\ x軸の下側の部分を上側に折り返したグラフになる. \\[.2zh] y=1との位置関係も重要なので頂点も求めると,\ (1,\ 1)で接することがわかる. \\[.2zh] さらに,\ y=x^2-2xとy=1の交点のx座標も必要なので連立して求める. \\[.2zh] 最後,\ y座標が1\dot{以}\dot{上}となるxの範囲にはx=1も含まれることに注意して答える.
本問には\ \bm{{\zettaiti x}^2=x^2}\ を利用する上手い解法がある. ] 結局,\ 瞬殺型の絶対値付き不等式に帰着する. 
別解1は,\ 普通に場合分けする絶対値付き方程式・不等式の問題の一般的な解法である. \\[.2zh] 絶対値は,\ \bm{中身が正ならばそのまま,\ 負ならば-をつけてはずす.} \\[.2zh] 本問は\,\zettaiti x\,なので,\ x\geqq0とx<0に場合分けすることになる. \\[.2zh] 忘れてはならないのは,\ 2次不等式を解いた後,\ \bm{場合分けの範囲との共通範囲にする}ことである. \\[.2zh] 前提条件x\geqq0の下でx^2-5x+4>0となるのであるから,\ その解もx\geqq0を満たす必要がある. \\[.2zh] 最後,\ \bm{x\geqq0の場合とx<0の場合を合わせて最終的な解とする.} \\[1zh] グラフを利用する解法も示しておく(別解2).\ 問題の形ではグラフで考える利点がない. \\[.2zh] そこで,\ 絶対値を含む項を右辺に分離し,\ y=x^2+4とy=5\zettaiti xで考える. \\[.2zh] 5\zettaiti x=\zettaiti{5x}\,より,\ y=5\zettaiti xはy=5xの下側の部分を上側に折り返したグラフとなる. \\[.2zh] また,\ x^2+4=5xより,\ y=x^2+4とy=5xはx=1,\ 4の2点で交わる. \\[.2zh] さらに,\ y=x^2+4とy=5\zettaiti xがどちらもy軸対称であることを考慮して素早く図示できる.
場合分けする時点でまず1回2次不等式を解く必要がある. \
この前提条件の下で絶対値をはずして2次不等式を解いた後,\ 共通範囲を求める. \\[.2zh] さらに,\ 2つの場合を合わせて最終的な解とする. \\[1zh] 容易に図示できるので,\ グラフで図形的に考えることも有効である(別解). \\[.2zh] x^2-x-2=(x+1)(x-2)より,\ y=x^2-x-2はx軸とx=-\,1,\ 2で交わる. \\[.2zh] x軸よりも下側の部分を上側に折り返すとy=\zettaiti{x^2-x-2}\ のグラフになる. \\[.2zh] x軸対称移動するには,\ 元の式においてy\,→\,-\,yとするのであった. \\[.2zh] よって,\ 折り返した部分の式は,\ -\,y=x^2-x-2,\ つまりy=-\,x^2+x+2である. \\[.2zh] y=xは原点を通る傾き1の直線であるから,\ y=\zettaiti{x^2-x-2}\,と明らかに2点の交点をもつ. \\[.2zh] 連立するとそれぞれ2解求まるが,\ 図より明らかに交点のx座標は正の方である.
\bm{複数の絶対値がある場合,\ 中身が0になるところで数直線を分割する.} \\[.2zh] \zettaiti xと\zettaiti x-3の中身が0になるx=0,\ 3で分割し,\ 3つに場合分けすることになる. \\[.2zh] 各場合ごとに中身が正ならばそのまま,\ 負ならば-をつけて絶対値をはずして2次不等式を解く. \\[.2zh] 忘れずに共通範囲を求め,\ 3つの場合を合わせて最終的な解とする. \\[1zh] グラフで図形的に考えるのも有効である(別解). \\[.2zh] 図示するとき,\ 右側の交点の位置の微妙さが問題になる. \\[.2zh] x=3のときのy=-\,x^2+2x+7のy座標を求めてみると4になるので,\ 3<xで交わるとわかる. \\[.2zh] 後は連立して交点のx座標を求めればよい.