検索用コード
すべての実数xに対して,\ 2次不等式\ x^2-kx+k+1>0\ が成り立つとき,$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ 定数kの値の範囲を求めよ.$ \\\\
\hspace{.5zw}$(2)\ \ すべての実数xに対して,\ 不等式\ kx^2+4x+k-3\leqq0\ が成り立つとき,$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ 定数kの値の範囲を求めよ.$ \\
すべての実数に対して成り立つ不等式(絶対不等式)}}}} \\\\
2次不等式なので,\ \textbf{\textcolor{red}{グラフを用いて図形的に考える.}} \\[.2zh] 常に$f(x)>0$は,\ 図形的には$y=f(x)$のグラフが常に$x$軸の上側にあることである(左図). \\[.2zh] 常に$f(x)<0$は,\ 図形的には$y=f(x)$のグラフが常に$x$軸の下側にあることである(右図)
また,\ 2次関数のグラフと直線の位置関係は,\ 判別式$D$でとらえることができた. \\[.2zh] つまり,\ $\bm{\textcolor{red}{(交点をもたない)=(実数解をもたない)=(D<0)}}$である. \\\\  結局,\ グラフが上のようになるための条件が次となる. \\[.5zh] \centerline{$\bm{\textcolor{cyan}{a\neqq0}のとき\ \begin{cases} \textcolor[named]{ForestGreen}{常に\ ax^2+bx+c>0}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{cyan}{a>0}\ \ かつ\ \ \textcolor{red}{D<0} \\
\textcolor[named]{ForestGreen}{常に\ ax^2+bx+c<0}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{cyan}{a<0}\ \ かつ\ \ \textcolor{red}{D<0} \end{cases}}$} \\\\  常に$f(x)>0$だからといって$D>0$としてしまうミスが多いので注意してほしい. \\\\\\

(1)\ \ $x^2-kx+k+1=0$の判別式を$D$とする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $y=x^2-kx+k+1\ は\textcolor{cyan}{下に凸}なので,\ 求める条件は \すべての実数xに対して成り立たない.}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $[2]$\ \ $\textcolor{cyan}{k\neqq0}\ のとき kx^2+4x+k-3=0の判別式をDとする.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{[1]}\ \ \phantom{k\neqq0\ のとき }\,求める条件は \textcolor{cyan}{k<0}\ \ かつ\ \ \textcolor{red}{\bunsuu D4=2^2-k(k-3)\leqq0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{[1]}\ \ \phantom{k\neqq0\ のとき }\,よって k^2-3k-4\geqq0 より k\leqq-\,1,\ 4\leqq k$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{[1]}\ \ \phantom{k\neqq0\ のとき }\ \textcolor{cyan}{k<0}との共通範囲は k\leqq-\,1$ \\[1.5zh] x^2\,の係数が文字なので,\ そもそも2次不等式にならない場合が考えられる. \\[.2zh] 問題が「\dot{2}\dot{次}不等式」ならば直ちにk\neqq0としてよい. \\[.2zh] しかし,\ 本問は「不等式」なので,\ \bm{1次以下の不等式である場合の考慮}を要する. \\[.2zh] つまり,\ k=0のときを実際に代入して具体的に考えてみればよい. \\[.2zh] 4x-3\leqq0は当然x\leqq\bunsuu34\,でしか成り立たないので,\ 条件を満たさない. \\[.6zh] k\neqq0のとき,\ 条件は\bm{「上に凸\ \ かつ\ \ D\leqq0」}である. \\[.2zh] 本問は常にf(x)\leqq0なので,\ D=0でも(接していても)よいことに注意してほしい. すべての実数$x,\ y$に対して$x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1\geqq0$が成り立つような \\[.2zh] \hspace{.5zw}定数$a$の値の範囲を求めよ.                      [阪南大] $x$についての方程式$x^2-2(a-1)yx+y^2+(a-2)y+1=0$の判別式を$D_1$とする. \\[1zh] すべての実数$x$に対して与不等式が成り立つ条件は {すべての実数$y$に対して成り立つ}ことである. }{すべての実数$y$に対して成り立たない.} \\[1zh] [2]\ \ $\textcolor{cyan}{a=2}$のとき $\textcolor{red}{-\,1\leqq0}$となり,\ \textcolor{red}{すべての実数$y$に対して成り立つ.} \\[1zh] [3]\ \ $\textcolor{cyan}{a\neqq0,\ 2}$のとき  \\[.2zh] \phantom{[3]}\ \  $y$についての方程式$(a^2-2a)y^2-(a-2)y-1=0$の判別式を$D_2$とする. \\[.6zh] \phantom{[3]}\ \  すべての実数$y$に対して$(a^2-2a)y^2-(a-2)y-1\leqq0$が成り立つ条件は \\[.2zh] 2文字の実数に対して常に不等式が成り立つ条件は,\ \bm{1文字ずつ二段階で考える.} \\[.2zh] まずxについての不等式とみると,\ 下に凸であるから条件は\bm{D_1\leqq0}となる. \\[.2zh] yについての不等式が導かれ,\ これがすべての実数yに対して成り立たなければならない. \\[.2zh] y^2\,の係数a^2-2aが0ならば2次不等式にならないので,\ 場合分けをする. \\[.2zh] a(a-2)=0,\ つまりa=0,\ 2をそれぞれ実際に代入して具体的に考えてみることになる. \\[.2zh] a\neqq0,\ 2のとき,\ yについての2次不等式が常に成り立つ条件は,\ \bm{上に凸\ かつ\ D_2\leqq0}である. \\[.2zh] a^2-2a<0\ \Longleftrightarrow\ a(a-2)<0\ \Longleftrightarrow\ 0<a<2 \\[.2zh] D_2\,の式は展開してから因数分解してもよいが,\ 次のように共通因数をくくり出すのが手っ取り早い. \\[.2zh] \{-\,(a-2)\}^2-4\cdot(a^2-2a)\cdot(-\,1)=(a-2)^2+4a(a-2)=(a-2)(a-2+4a)=(a-2)(5a-2)