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2次方程式\ $ax^2+bx+c=0\ の解は,\ 当然\ x=\bunsuu{-\,b\pm\ruizyoukon{b^2-4ac}}{2a}\ である.$ \\[.2zh] 特筆すべきは,\ \textbf{\textcolor{cyan}{根号の中身$\bm{b^2-4ac}$が正か0か負かで実数解の個数が変わる}}ことである. \\[.2zh] つまり,\  \textbf{\textcolor{red}{実数解の\.{個}\.{数}だけなら,\ 解を求めずとも,\ $\bm{b^2-4ac}$の符号だけで判別できる.}} \\[.2zh] よって,\ $b^2-4ac$を\textbf{\textcolor{cyan}{判別式}}(discriminant)といい,\ 普通$\bm{\textcolor{cyan}{D}}$で表す. \\\\[異なる2つの実数解}}{ただ1つの実数解(重解)}}{実数解をもたない.}} (\ruizyoukon{負}\ は許されない)
上2つをまとめて 実数解をもつ}}$ \\\\
なお,\ $「D<0\ \Longleftrightarrow\ 解なし」とするのは\bm{\textcolor{Purple}{誤り}}である.$ \\[.2zh] $D<0$のとき,\ 実数解はもたないが,\ 異なる2つの虚数解をもつからである(数I\hspace{-.1em}I). \\\\  $\bm{\textcolor{ForestGreen}{b=2b’\ (bが偶数)}}$のとき $D=b^2-4ac=(2b’)^2-4ac=4({b’}^2-ac)$ \\[.5zh]  $係数の4は符号に影響しないので,\ \bm{\textcolor{magenta}{\bunsuu D4={b’}^2-ac}}\ として利用する.$ \\[.5zh]  $解の公式x=\bunsuu{-\,b’\pm\ruizyoukon{{b’}^2-ac}}{a}\ と同様,\ bが偶数のときは必ず簡単な\ \bunsuu D4\ を用いること.$ \\\\\\\\ \hspace{.5zw}\begin{tabular}{|p{13.2cm}|} \hline \\[-.8zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ.\ $a$は定数とする.$2次方程式\ x^2-3kx+2k=0\ が重解をもつとき,\ 定数kの値を定めよ.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)\ \ }$また,\ そのときの重解を求めよ.$ \\\\ \hspace{.5zw}(3)\ \ $xの方程式\ (a-2)x^2-2ax+a-3=0\ の実数解の個数を求めよ.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)\ \ }$aは定数とする.$ \\\\ \hspace{.5zw}(4)\ \ $2つの2次方程式3x^2-4x+k-2=0とx^2+(2k+3)x+k^2+1=0がともに$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)\ \ }$実数解をもつような定数kの値の範囲を求めよ.{33>0} より \bm{実数解2個}$
実際に解を求めて個数を答えても間違いではない. \\[.2zh] しかし,\ 回りくどいのは明らかで,\ 複雑な問題になるほど大きなタイムロスとなり,\ ミスを誘発する. \\[.2zh] 判別式を用いて最小限の計算で解答しよう.\ \bm{Dが判別式であることは明記}しておくべきである. \\[.2zh] D<0のとき,\ 「実数解なし」と答えてもよいが,\ 個数が問われているので「0個」と答えている. \\[.2zh] (エ)では,\ aの値次第でDが正か0か負かが変わるので,\ 場合分けして答えることになる. \el} 重解は,\ 求まったkの値を元の方程式に代入して求めることもできるが,\ 推奨されない. \\[.2zh] D=0のとき,\ 解の公式はx=\bunsuu{-\,b\pm0}{2a}=\bm{-\bunsuu {b}{2a}}\ となり,\ これこそが重解に他ならない. \\[.6zh] x^2-3kx+2k=0において,\ a=1,\ b=-\,3kである. \\[.2zh] これをx=-\bunsuu{b}{2a}\ に代入して重解をkの式で表しておき,\ それにkを代入すると素早く求められる.
いきなり判別式を適用するのは誤りである.\ \bm{判別式は,\ 2次方程式にしか適用できない}からである. \\[.2zh] 本問はx^2\,の係数に文字が含まれるので,\ aの値によっては常に2次方程式となるとは限らない. \\[.2zh] また,\ 問題が「\dot{2}\dot{次}方程式」ではなく,\ 単に「方程式」となっている点にも注意が必要である. \\[.2zh] もし,\ 問題が「\dot{2}\dot{次}方程式」であれば,\ 「2次方程式よりa\neqq2」と書いて議論を進める. \\[.2zh] 「方程式」としか書いてない本問では,\ a-2=0の場合も考慮する必要がある. \\[.2zh] a-2=0のときは1次方程式となり,\ 実際に解くと1個の実数解が求まる. \\[.2zh] a-2\neqq0のときは2次方程式となるから,\ 判別式が適用できる. \\[.2zh] [1]と[2]の結果をまとめて,\ 最終的な答えとする.
ともに実数解をもつ条件は,\ \bm{D_1\geqq0\ かつ\ D_2\geqq0}\ である. \\[.2zh] 「実数解をもつ」は,\ 1個の場合も2個の場合も含むから,\ 等号がつくことに注意する. \\[.2zh] それぞれが不等式となるので,\ 共通範囲を求めることになる.