検索用コード
次の2次不等式を解け.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}\begin{tabular}{lll}
(1)\ \ $6x^2-7x+2>0$ & (2)\ \ $x^2\leqq4$ & (3)\ \ $-\,x^2-x+1>0$ \\[.8zh] (4)\ \ $(x-1)(3-x)\leqq0$ & (5)\ \ $x^2+4x+4>0$   & (6)\ \ $4x^2-20x+25\geqq0$ \\[.8zh] (7)\ \ $x^2+x+\bunsuu14<0$ & (8)\ \ $x^2-6x+9\leqq0$ & (9)\ \ $x^2-2x+2\geqq0$ \\[.8zh] (10)\ \ $-\,2x^2+4x-3\geqq0$   \end{tabular} \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\ \centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{基本的な2次不等式の解法}}}} \\\\  基本的な2次不等式は細かく分けると10パターン以上あるが,\ 別に暗記する必要はない. \\[.2zh]  いずれも,\ \textbf{\textcolor{red}{2次関数と$\bm{x}$軸の位置関係として図形的にとらえる}}ことによって解ける. \\\\  (1)\ \ $6x^2-7x+2>0$ より $\textcolor{red}{(2x-1)(3x-2)>0}$ \\[-2.5zh] 「2次不等式6x^2-7x+2>0を解け」の図形的意味が次である. \\[.2zh] \bm{「y=6x^2-7x+2のグラフがy=0\,(x軸)よりも上側にあるxの範囲を答えよ」} \\[.2zh] これにはx軸との交点が必要になるので,\ まず6x^2-7x+2を因数分解する. \\[.2zh] (2x-1)(3x-2)=0とするとx=\bunsuu12,\ \bunsuu23\,となるので,\ x軸と\hspace{-.1zw}\left(\bunsuu12,\ 0\right)\hspace{-.1zw},\ \hspace{-.1zw}\left(\bunsuu23,\ 0\right)\hspace{-.1zw}で交わるとわかる. \\[.6zh] 右のグラフより,\ y=6x^2-7x+2のグラフがx軸よりも上側にある範囲はx<\bunsuu12,\ \bunsuu23<xである. \\[.6zh] x<\bunsuu12,\ x>\bunsuu23\ でもよいが,\ \bm{x軸の大小関係に従ってx<\bunsuu12,\ \bunsuu23<xと答えるのが普通である.} \\[.6zh] 実際の試験では,\ いちいちグラフを図示するのは時間の無駄である. \\[.2zh] 頭の中でグラフをイメージし,\ 直ちに(x-\alpha)(x-\beta)>0\ (\alpha<\beta)\ \Longleftrightarrow\ x<\alpha,\ \beta<x\ と変形する.
まずは一方の辺が0になるように変形する. \\[.2zh] 図形的意味は\bm{「y=x^2-4のグラフがy=0\,(x軸)よりも下側にあるxの範囲を答えよ」}である. \\[.2zh] 実際には頭の中でグラフをイメージし,\ 直ちに(x-\alpha)(x-\beta)<0\ (\alpha<\beta)\ \Longleftrightarrow\ \alpha<x<\beta\,とする. \\[1zh] 本問は,\ x^2=4\ \Longleftrightarrow\ x=\pm\,2と混同し,\ x\leqq\pm\,2としてしまうミスが地獄的に多い. \\[.2zh] \bm{2次方程式とは異なり,\ 2次不等式では常に図形的意味を考慮する必要がある.} \\[.2zh] 2次方程式ほど単純に考えてはいけない.\ そもそも,\ 答えが\pm\,2以下というのは意味不明である. \end{array}}\right]$}} \\\\\\  (3)\ $-\,x^2-x+1>0 より \textcolor{ForestGreen}{x^2+x-1<0}$ \\[.5zh] 2次の係数が負の場合,\ とにかくまず正にする.} \\[.2zh] もし2次の係数が負のまま2次不等式を解こうとすると,\ 上に凸のグラフを考えることになる. \\[.2zh] 他問題との統一性がなくなり,\ 余計な思考が増えてミスを誘発してしまうのである. \\[.2zh] さて,\ 本問の2次式は因数分解できないので,\ \ \bm{=0として解の公式でx軸との交点を求める.} \\[.2zh] 後は,\ y=x^2+x-1のグラフがx軸よりも下側にあるxの範囲を答える. \} 問題が因数分解形なのは罠であり,\ ( )( )\leqq0だからといって1\leqq x\leqq3とすると間違える. \\ が成り立つのは,\ x^2\,の係数が正の場合である. \\[.2zh] 本問の(x-1)(3-x)は展開すると2次の係数が負になるので,\ まずは正になるように変形する. \\[.2zh] このとき展開する必要はなく,\ 次のように考えればよい. \bm{-\,2\,以外のすべての実数}$ \
因数分解すると2乗の形になるので,\ 図形的には\bm{x軸と接するグラフ}である. \\[.2zh] \bm{y=(x+2)^2\,のグラフがx軸よりも上側にあるxの範囲}を答えることになる. \\[.2zh] x=-\,2のときのみ,\ x軸上にあるので条件を満たさない. \\[.2zh] \bm{x\neqq-\,2}\ または\ \bm{x<-\,2,\ -\,2<x}\ と答えても正解である.
すべての実数}$  \bm{解なし}$
ぱっと見で因数分解できなければ,\ 分母を払って\ 4x^2+4x+1<0\ \Leftrightarrow\ (2x+1)^2<0\ とすればよい. \\[.2zh] グラフが0より小さくなることはないので,\ 解なしとなる.
\,0\,\dot{以}\dot{下}となるのはx=3の1点のみ\,$
因数分解できないので,\ 解の公式を用いると x=1\pm\ruizyoukon{-\,1} \\[.2zh] この時点でx^2-2x+2=0が実数解なし,\,つまり\bm{y=x^2-2x+2とx軸が交わらない}とわかる. \\[.2zh] よって,\ 右図より,\ y=x^2-2x+2が0以上となるxの範囲は全部であるとわかる. \\[.2zh] なお,\ 答案には根号の中身が負である\ x=1\pm\ruizyoukon{-\,1}\ を記述すべきではない. \\[.2zh] グラフがx軸と交わらないことを示すため,\,上では\bm{平方完成}した.\,頂点(1,\ 1)を示したことに等しい. \\[.2zh] \bm{判別式D<0}を示してもよい.\ \ x^2-2x+2=0\ において\ \bunsuu D4=(-\,1)^2-1\cdot2=-\,1<0\ である.
まずは,\ 負である2次の係数を正にする. \\[.2zh] 因数分解できないので,\ 解の公式を用いると x=\bunsuu{2\pm\ruizyoukon{-\,2}}{2} \\[.6zh] y=2x^2-4x+3がx軸と交わらないとわかり,\ 0以下となるxの範囲がないこともわかる. \\[.2zh] 判別式で示すと,\ \bunsuu D4=(-\,2)^2-2\cdot3=-\,2<0\ となる.