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連立不等式\begin{cases}
x^2-7x+10>0 & \cdots\maru1 \\[.2zh] x^2-(a+1)x+a\leqq0 & \cdots\maru2
\end{cases}を満たす整数xが5個存在するような$ \\[1zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $定数aの値の範囲を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $3x^2-16x+a<0$を満たす整数$x$が4個存在する定数$a$の値の範囲を求めよ.a=1}$のとき 整数解は\textcolor{red}{$x=1$の1個}なので条件を満たさない. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [3]\ \ $\textcolor{cyan}{a>1}$のとき 5個の整数解は$\textcolor{red}{x=1,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9}$である. \
各不等式を解いた後,\ \bm{共通範囲}を考える. \\[.2zh] \maru2は,\ aと1の大小関係によって場合分けが必要になる.\ a=1のとき,\ (x-1)^2\leqq0となる. \\[.2zh] y=(x-1)^2\,はx軸とx=1で接するグラフであるから,\ 0以下となるのはx=1のみである. \\[.2zh] 後は,\ 各場合ごとに,\ 数直線を書いて共通範囲内の整数が5個になるための条件を考える. \\[1zh] [1]\ \ 条件a<1と混同し,\ x<1と考えないように注意する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ x\leqq1より共通範囲に1が含まれることも考慮して,\ 5個の整数が確定する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 結局,\ \maru2の区間の左端aが-4と-3の間にあればよいことがわかる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ このとき,\ \bm{等号を含むか否かは相当慎重な判断が必要になる.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a=-\,4とa=-\,3のときに条件を満たすかを具体的に考えてみるのが確実である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a=-\,4のとき,\ -\,4\leqq x\leqq1となって共通範囲に-4も含まれてしまうので条件を満たさない. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a=-\,3のとき,\ -\,3\leqq x\leqq1となるから条件を満たす. \\[1zh] 因数分解できない場合,\ \bm{グラフで図形的に考える}ことが重要である. \\[.2zh] 3x^2-16x+a<0の図形的意味は,\ y=3x^2-16x+aがx軸の下側にあるときのxの範囲である. \\[.2zh] \bm{軸がx=\bunsuu83\,で一定あることと2次関数の対称性}を考慮すると,\ 4個の整数が確定する. \\[.6zh] 結局,\ 軸から4番目に近いx=1が含まれ,\ 5番目に近いx=5が含まれなければよい. \\[.2zh] そのための条件は,\ 図形的には\bm{「x=1でのy座標が負」かつ「x=5でのy座標が正」}である. \\[.2zh] ただし,\ \bm{等号を含むか否かを慎重に判断しなければならない.} \\[.2zh] x=1,\ 5のときに条件を満たすかを具体的に考えてみる.\ 3x^2-16x+a<0\ \cdots\maru1\ とする. \\[.2zh] f(1)=0のとき,\ グラフはx=1でx軸と交わり,\ \maru1にx=1が含まれなくなる. \\[.2zh] f(5)=0のとき,\ グラフはx=5でx軸と交わるが,\ この場合も\maru1にx=5は含まれない. \\[.2zh] よって,\ x=1のとき条件を満たさず,\ x=5のとき条件を満たす. \\[1zh] 解の公式を用いてゴリ押しすることも可能である(別解). \\[.2zh] 不等式を満たす区間は,\ \bm{\bunsuu83\,を中央として両側に\ \bunsuu{\ruizyoukon{64-3a}}{3}\,の幅をもつ対称な区間}である. \\[.8zh] これに着目して4個の整数が確定する.\ 結局,\ 下限が1\,\dot{よ}\dot{り}\dot{小}\dot{さ}\dot{く},\ 上限が5\,\dot{以}\dot{下}であればよい. \\[.2zh] さて,\ 根号つきの不等式は厳密には数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の範囲なのだが,\ 数\text{I}分野でも普通に登場する. \\[.2zh] 基本的には\bm{根号部分を分離して両辺を2乗すればよい}が,\ 1つだけ注意点がある. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{左辺と右辺がどちらも0以上の場合のみ,\ 両辺を2乗しても同値である.} \\[.2zh] 要するに \bm{\underline{a\geqq0,\ b\geqq0}\ のとき a>b\ \Longleftrightarrow\ a^2>b^2} (下線部の前提条件に注意) \\[.6zh] \bunsuu{8-\ruizyoukon{64-3a}}{3}<1 → 5<\ruizyoukon{64-3a} → 25<64-3a → a<13 (もう一方も同様) \\[.6zh] 常に\ \ruizyoukon{64-3a}\geqq0\ であるから,\ 両辺を2乗しても問題ない.