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2次不等式\ ax^2-bx-8\geqq0\ の解が\ x\leqq-\,1,\ 4\leqq x\ であるとき,\ 定数a,\ bの値を$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ 求めよ.$ \\\\
\hspace{.5zw}$(2)\ \ 2次不等式\ ax^2+14x+b>0\ の解が\ \bunsuu12<x<\bunsuu23\ であるとき,\ 定数a,\ bの値を$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ 求めよ.$ \\
}{2次不等式の解から係数決定}{因数分解して2次不等式を解く過程を逆に辿り,\ 係数を比較する.}}$x\leqq-\,1,\ 4\leqq x\ を解にもつ2次不等式の1つは \textcolor{red}{(x+1)(x-4)\geqq0}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 展開して   {2倍}係数比較}
まず,\ 解が\ x\leqq-\,1,\ 4\leqq x\ となるような2次不等式を1つ作成する. \\[.2zh] 2(x+1)(x-4)\geqq0\ など無数にあるが,\ 最も簡単な2次の係数が1のものでよい. \\[.2zh] 展開し,\ 問題と定数項-8が一致するように2倍してから係数を比較する.
を解にもつ2次不等式の1つは{係数比較}
問題とxの係数14が一致するように-2倍してから係数を比較する. \\[.2zh] この瞬間,\ \bm{不等号の向きが逆転}し,\ 問題と一致する.
\ $a,\ b,\ cは定数とする.\ xの不等式ax^2+bx+c>0の解が-2<x<3であるとき,$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $不等式cx^2-bx+a<0とax^2+cx+b>0の解を求めよ.      [東海大]$ \\\\
\hspace{.5zw}(2)\ \ $xの不等式(a^2-1)x^2+(2a+1)x-4>0の解が2<x<kとなるとき,\ 定数a,\ k$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $の値を求めよ.                          [久留米大]$ \\
x^2-x-6<0とax^2+bx+c>0を一致させるには,\ \bm{両辺にa\,(<0)を掛ける}必要がある. \\[.2zh] 逆向きの不等号も一致させなければならないからである. \\[.2zh] 後半の2つの不等式は,\ a<0に注意して解くことになる. \\[.2zh] b,\ cを消去すると係数がaのみとなり,\ 両辺を割って簡単にできる. \\[.2zh] x^2\,の係数を正にすることも考慮し,\ -\,6ax^2+ax+a<0の両辺を-aで割ることになる. \\[.2zh] このとき,\ 6x^2-x-a>0としてはならない.\ \bm{a<0なので-a>0}である. \\[.2zh] 正の数-aで割るのであるから,\ 不等号の向きは変わらない. \\[.2zh] 同様に,\ ax^2-6ax-a>0の両辺をaで割ることになるが,\ x^2-6x-1>0としてはならない. \\[.2zh] 負の数aで割るのであるから,\ 不等号の向きは逆になる.
2次不等式を作成するとき,\ \bm{条件2<kが加わる}ことに注意する. \\[.2zh] さらに,\ 不等号の向きを一致させるため,\ \bm{a^2-1が負でなければならない}ことにも注意する. \\[.2zh] やや複雑な連立方程式に帰着する.\ 式をよく見比べると,\ 同じ形k(a^2-1)があることに気付く. \\[.2zh] \maru1:2a+1=-\,k(a^2-1)-2(a^2-1),\ \maru2:-\,2=k(a^2-1)\ より 2a+1=-\,(-\,2)-2(a^2-1) \\[.2zh] 気付けなければ,\ 素直に\maru2をk=として\maru1に代入し,\ 1文字消去すればよい. \\[.2zh] a=\bunsuu{-\,1\pm\ruizyoukon7}{2}\ となるが,\ a^2-1<0を満たしている必要がある. \\[.6zh] a^2-1<0\ \Longleftrightarrow\ (a+1)(a-1)<0\ \Longleftrightarrow\ -\,1<a<1\ より,\ 1つに定まる. \\[.2zh] さらにkを求め,\ k>2を満たしていることを確認して最終的な答えとする.