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実数$x,\ y$が$x^2-xy+y^2=3$を満たすとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $x$の最大値と最小値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $2x+y$の最大値と最小値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $\bunsuu{x}{y+3}$の最大値と最小値を求めよ. \\
条件付き2変数関数の最大・最小(実数解条件利用)}}}} \\\\[.5zh] 等式条件1つにつき1文字消去できる.\ 等式を$x=$か$y=$にして他方に代入するのである. \\[.2zh] 2変数関数は,\ 1文字消去して1変数関数に帰着させるのが基本である. \\[.2zh] しかし,\ 等式が2次式の本問では,\ 容易に1文字消去することができない. \\[.2zh] そこで,\ \textbf{\textcolor{blue}{高度な考え方}}を導入することになる. \\[.2zh] 問題パターンを丸暗記して解くだけならば,\ 判別式を用いるだけなので容易である. \\[.2zh] しかし,\ \textbf{\textcolor{magenta}{何故判別式で最大と最小が求まるのか}}という根幹部分の理解は容易ではない. \\[.2zh] かなり詳しく解説したので,\ よく確認しておいてほしい.
(1)\ \ x=\bunsuu{y\pm\ruizyoukon{12-3y^2}}{2}\ として求めることも可能だが,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の知識を要する. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 仮に知識があったとしてもかなり面倒であり,\ 高度な考え方を導入して解くことになる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ 最大値・最小値を求めることは,\ とりうる値の範囲\ ○\leqq x\leqq△\ を求めることに等しい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを求めるため,\ xがある値をとるか否かを1つずつ考えていく. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ xは1という値をとりうるだろうか. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ xが1をとりうるならば,\ x=1は条件式を満たすはずである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x=1を条件式に代入して整理するとy^2-y-2=0となるから,\ y=-\,1,\ 2である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ (x,\ y)=(1,\ -\,1),\ (1,\ 2)のときx^2-xy+y^2=3を満たすから,\ xは1をとりうる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ では,\ xは3という値をとりうるだろうか. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x=3を代入するとy^2-3y+6=0となるが,\ D=-\,15<0よりyは実数解をもたない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ x^2-xy+y^2=3を満たす実数(3,\ y)は存在せず,\ xは3をとりえないとわかる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 以上から,\ \bm{xがある値をとるか否かは,\ 対応する実数yが存在するか否かで決まる}といえる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 対応する実数yが存在するようなxを全て探せば,\ ○\leqq x\leqq△\ が定まることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 実数xは無限にあるから,\ その全てを1つずつ確認していくことは不可能である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ \bm{x=kと文字でおいて一般化して考える.}\ 1や3の代わりに文字kを使うのである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x=kを代入して整理するとy^2-ky+k^2-3=0となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実数yが存在していればxはそのkをとりうるし,\ 存在していなければxはそのkをとらない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ D=-\,3k^2+12\geqq0より,\ -\,2\leqq k\leqq2のとき,\ 実数解yが存在する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ -\,2\leqq k\leqq2のとき,\ xはx=kをとりうる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは-2\leqq x\leqq2ということであり,\ xの最大値と最小値が求まったことになる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ どうせkはxに戻すので,\ 最初からxのまま記述すると解答のようになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{xの範囲が他方の文字yの存在を追求して求まる}という構造が重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このような方法は\bm{逆像法}と呼ばれ,\ 入試では関連問題が頻出する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 教科書には解説がなく,\ 授業で扱われることも少なく,\ 解説している参考書も少ない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 多くの高校生にとって高校数学最大の盲点となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 数\text{I\hspace{-.1em}I}の図形と方程式分野でも逆像法が登場する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ その際には,\ 当サイトの逆像法専用カテゴリを読むとよいだろう. \\[1zh] (2)\ \ (1)で逆像法の考え方を理解していれば(2)や(3)もほとんど同じである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ とりあえず(1)と同様に考えよう.\ 例えば,\ 2x+yは1をとりうるだろうか. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ とりうるか否かは,\ 2x+y=1と条件式を連立し,\ 実数x,\ yが存在するか否かで決まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y=1-2xとして代入すると7x^2-5x-2=0より,\ x=-\bunsuu27,\ 1となる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ y=1-2xより,\ (x,\ y)=\left(-\bunsuu27,\ \bunsuu{11}{7}\right),\ (1,\ -\,1)が存在し,\ 2x+yが1をとるとわかる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ では,\ 2x+yは6をとりうるだろうか. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y=6-2xとして条件式に代入して整理すると7x^2-30x+33=0となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ D=-\,6<0より実数xは存在しないから,\ 2x+yが6をとることはない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ では,\ 2x+y=kと一般化して考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 連立した7x^2-5kx+k^2-3=0が実数解xをもてば,\ 2x+yがそのkをとりうることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実数xが存在していれば,\ y=k-2xより実数yも自動的に存在することに注意してほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{7x^2-5kx+k^2-3=0が実数解xをもつかどうかでkの範囲が決まる}のである. \\[1zh] (3)\ \ (2)と同じく=kとし,\ 消去しやすいxを消去すると\maru1におけるyの実数解条件に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実数yが存在していれば,\ x=k(y+3)より実数xも自動的に存在することに注意. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (2)とは異なり,\ 2次の係数k^2-k+1が0になるか否かの確認が必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ k^2-k+1=0のとき\maru1は2次方程式にならず,\ 判別式が使えないからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 平方完成すると,\ k^2-k+1=0になることはないことがわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ あるいは,\ k^2-k+1=0の判別式D=-\,3<0を示してもよい.