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a,\ b,\ c$を定数とするとき,\ 次の方程式を解け.\ ただし,\ (3)では$b^2-4ac\geqq0$とする. \\[1zh] \ これを満たす$x$は存在しない. \$となり,\ すべての$x$がこれを満たす.
a=b=c=0\ のとき & 解はすべての数. \\[.2zh] a=b=0,\ c\neqq0\ のとき & 解なし. \
まず,\ 問題は,\ 「\dot{2}\dot{次}方程式を解け」ではなく,\ 「方程式を解け」である. \\[.2zh] よって,\ \bm{x^2\,の係数が文字の場合,\ 方程式が1次以下である可能性も考慮しなければならない.} \\[1zh] (1)\ \ 方程式が2次でなければ,\ 2次方程式の解法は使えないので場合分けする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ x^2\,の係数が0になるa=0のときは別個に考えなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この場合の解がどうなるかは,\ 実際にa=0を代入してみればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ 問題が「\dot{2}\dot{次}方程式を解け」でも,\ 「2次方程式なのでa\neqq0\,」という記述は必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ どちらにしてもx^2\,の文字係数には常に意識を払って問題を解かなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a\neqq0のときは2次方程式となり,\ 2次方程式の解法が使える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 因数分解できれば因数分解,\ できなければ解の公式である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は因数分解可能であり,\ x+a=0とax-1=0に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ax-1=0は,\ a\neqq0より両辺をaで割ることができ,\ x=\bunsuu1a\ となる. \\[1zh] (2)\ \ x^2\,の係数a^2-1=0,\ つまりa=\pm\,1のときの場合を分けて考える必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a\neqq\pm\,1のとき,\ Ax^2=Bの形なので平方根の定義を利用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{x^2=p\ (\underline{p\geqq0})\ のとき,\ x=\pm\ruizyoukon{p}}\ である.\ 下線部に注意.\ \bm{p<0ならxは存在しない.} \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ a-1<0,\ つまりa<1のときの場合を分ける必要がある.\ このとき,\ xは存在しない. \\[1zh] (3)\ \ x^2\,の係数aが0か否かで場合分けする.\ a=0のとき,\ bx+c=0となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 文字係数の1次方程式bx+c=0については,\ 数と式分野でも取り上げた. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ b=0のときは1次方程式にならないので,\ \bm{bが0か否かで場合分け}を要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ b=0のときは\bm{cが0か否かでも場合分け}を要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a\neqq0のときは2次方程式となるから,\ 解の公式が利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もしb^2-4ac\geqq0の条件がなければ,\ このときとb^2-4ac<0のときとで場合分けを要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ b^2-4ac<0のとき,\ 解の公式の根号の中が負になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 解は存在しないように思える.\ しかし,\ 実は実数解は存在しないが,\ 虚数解が存在する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 虚数解は数\text{I\hspace{-.1em}I}の学習内容なので,\ ここではb^2-4ac\geqq0を前提としたわけである.